Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[ll1 & 2 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a inversa e a adjunta (matriz dos cofatores transposta) de
A = 1 & 2 [6pt] 2 & 2
e também os determinantes de A, A^-1 e adj(A). Como é uma matriz 2times2, vamos usar as fórmulas
det(A)=ad - bc,
A^-1 = 1det(A) d & -b [3pt] -c & a ,
e
adj(A) = d & -b [3pt] -c & a
]

Passo 2

Identificando a=1, b=2, c=2, d=2, temos
det(A) = 1cdot2 - 2cdot2 = 2 - 4 = -2

Passo 3

Aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-22 & -2 [3pt] -2 & 1 = -1 & 1 [3pt] 1 & -tfrac12
]

Passo 4

A adjunta é exatamente a matriz de cofatores transposta, ou seja,
adj(A) = 2 & -2 [3pt] -2 & 1
]

Passo 5

Usando propriedades de determinantes:
det(A^-1) = 1det(A) = -tfrac12,
e para a adjunta de uma 2times2,
detl(adj(A)r) = det(A)^2-1 = det(A) = -2

Resposta

det(A) = -2
A^-1 = -1 & 1 [3pt] 1 & -tfrac12, det(A^-1) = -tfrac12
adj(A) = 2 & -2 [3pt] -2 & 1, detl(adj(A)r) = -2
]

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