Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
(c)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em x,y,z dependendo do parâmetro a:
x+2y-3z=4, 3x-y+5z=2, 4x+y+(a^2-14)z=a+2
O conteúdo aqui é análise de existência e unicidade de solução de sistemas lineares com parâmetro: usamos o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando há solução única e, em seguida, investigamos os casos em que esse determinante se anula para ver se ocorrem soluções infinitas ou nenhuma solução.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-14
e calculamos seu determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
det A =1cdot-1 & 51 & a^2-14 -2cdot3 & 54 & a^2-14 -3cdot3 & -14 & 1
det A =( -a^2+9 ) -2,(3a^2-62)-3cdot7 =-a^2+9 -6a^2+124 -21 =-7a^2+112 =-7,(a^2-16)
Passo 3
Quando det Aneq0, o sistema tem solução única. Logo
det Aneq0iff a^2neq16iff aneq4,;aneq-4
Portanto, para todo aneqpm4 há solução única.
Passo 4
Se a^2=16 (isto é, a=pm4), então det A=0 e precisamos verificar a consistência:
para ambos os casos o terceiro sistema fica
4x+y+2z=;a+2
Note que, somando a primeira e a segunda equação originais,
(x+2y-3z)+(3x-y+5z)=4+2
dá
4x+y+2z=6
– Se a=4, a terceira equação é 4x+y+2z=4+2=6, que coincide com essa combinação linear. Logo as três equações são compatíveis mas dependentes, e há infinitas soluções.
– Se a=-4, a terceira é 4x+y+2z=-4+2=-2, que contraria 4x+y+2z=6. Há, portanto, inconsistência e o sistema não tem solução.
Resposta
para a=-4: sem solução,
para a=4: infinitas soluções,
para aneqpm4: solução única.