Resolva, com o auxílo da Regra de Cramer, o seguinte sistema:
S:c2 x+y-z=0 x-y+z=3 3 x-y+2 z=6

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
S: 2x + y - z = 0, x - y + z = 3, 3x - y + 2z = 6,
e pede para resolver usando a Regra de Cramer. Esse método consiste em calcular o determinante D da matriz dos coeficientes e os determinantes Dx, Dy, Dz obtidos ao substituir, respectivamente, cada coluna de coeficientes pelo vetor de termos independentes. As soluções são
x = DxD, y = DyD, z = DzD

Passo 2

Calculamos o determinante principal D da matriz dos coeficientes:
D = 2 & 1 & -1 1 & -1 & 1 3 & -1 & 2
Expandindo pela primeira linha:
D = 2-1 & 1-1 & 2 -11 & 13 & 2 +(-1)1 & -13 & -1
Calculando cada menor:
-1 & 1-1 & 2 = (-1)cdot2 - 1cdot(-1) = -2 + 1 = -1,
1 & 13 & 2 = 1cdot2 - 1cdot3 = 2 - 3 = -1,
1 & -13 & -1 = 1cdot(-1) - (-1)cdot3 = -1 + 3 = 2
Logo
D = 2cdot(-1) - 1cdot(-1) + (-1)cdot2 = -2 +1 -2 = -3

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes (0,3,6) para obter Dx:
Dx = 0 & 1 & -1 3 & -1 & 1 6 & -1 & 2
Expandindo pela primeira linha:
Dx = 0cdot-1 & 1-1 & 2 -1cdot3 & 16 & 2 +(-1)cdot3 & -16 & -1
Os menores são
3 & 16 & 2 = 3cdot2 - 1cdot6 = 6 - 6 = 0,
3 & -16 & -1 = 3cdot(-1) - (-1)cdot6 = -3 + 6 = 3
Portanto
Dx = 0 -1cdot0 +(-1)cdot3 = -3

Passo 4

Substituímos a segunda coluna pela coluna dos termos independentes para obter Dy:
Dy = 2 & 0 & -1 1 & 3 & 1 3 & 6 & 2
Expandindo pela primeira linha:
Dy = 2cdot3 & 16 & 2 -0cdot1 & 13 & 2 +(-1)cdot1 & 33 & 6
Calculamos
3 & 16 & 2 = 3cdot2 - 1cdot6 = 6 - 6 = 0,
1 & 33 & 6 = 1cdot6 - 3cdot3 = 6 - 9 = -3
Daí
Dy = 2cdot0 - 0 + (-1)cdot(-3) = 3

Passo 5

Substituímos a terceira coluna pela coluna dos termos independentes para obter Dz:
Dz = 2 & 1 & 0 1 & -1 & 3 3 & -1 & 6
Expandindo pela primeira linha:
Dz = 2cdot-1 & 3-1 & 6 -1cdot1 & 33 & 6 +0cdotl(dotsr)
Calculamos
-1 & 3-1 & 6 = (-1)cdot6 - 3cdot(-1) = -6 + 3 = -3,
1 & 33 & 6 = 1cdot6 - 3cdot3 = 6 - 9 = -3
Logo
Dz = 2cdot(-3) - 1cdot(-3) = -6 + 3 = -3

Passo 6

Aplicando a Regra de Cramer:
x = DxD = -3-3 = 1, y = DyD = 3-3 = -1, z = DzD = -3-3 = 1

Resposta

x = 1,;y = -1,;z = 1.

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