Encontre a base e a dimensão do subespaço
W=(a-b, b+c, 2 a-b+c) in R^3 mid a, b e c in R

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubsetR^3 dado por
W = (a-b,;b+c,;2a-b+c)mid a,b,cinR
e pede que a gente encontre uma base e a dimensão de W. Vamos usar a ideia de parametrizar vetores em função de a, b e c, extrair vetores geradores e, em seguida, aplicar o conceito de independência linear e dimensão.

Passo 2

Escrevemos o vetor genérico em W como combinação linear dos parâmetros:
(a-b,;b+c,;2a-b+c) = a,(1,0,2) + b,(-1,1,-1) + c,(0,1,1)
Isso mostra que
W = Span(1,0,2),,(-1,1,-1),,(0,1,1)

Passo 3

Precisamos verificar a independência linear desses três vetores. Suponha
alpha,(1,0,2) + beta,(-1,1,-1) + gamma,(0,1,1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema:
alpha - beta = 0, beta + gamma = 0, 2alpha - beta + gamma = 0
Das duas primeiras equações vem alpha=beta e gamma=-beta, e a terceira fica redundante. Há uma liberdade de parâmetros, logo apenas dois vetores são independentes. Por exemplo,
(-1,1,-1) = -1,(1,0,2) + 1,(0,1,1),
mostrando que (1,0,2) e (0,1,1) já geram todo W e são independentes.

Passo 4

Concluímos que um conjunto gerador mínimo (e portanto base) de W é
(1,0,2),,(0,1,1),
e como há dois vetores independentes, a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é (1,0,2),,(0,1,1) e dim(W)=2.

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