Dados os vetores V1=(1,1,1), V2=(4,2,-3) e V3=(2,1,-1). Verifique se eles são LI, e caso sejam LD, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se os vetores V1 = (1,1,1) , V2 = (4,2,-3) e V3 = (2,1,-1) são linearmente independentes (LI). Se eles não forem, ou seja, se forem linearmente dependentes (LD), precisamos escrever um deles como uma combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que vetores sejam linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Se pelo contrário, pelo menos um vetor puder ser escrito dessa forma, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.

Passo 4

Vamos montar a matriz A com os vetores V1 , V2 e V3 :
A = 1 & 4 & 2 1 & 2 & 1 1 & -3 & -1

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de A , denotado por det(A) . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c , etc., são os elementos da matriz A .

Passo 6

Aplicando os valores da nossa matriz:
a = 1, b = 4, c = 2 d = 1, e = 2, f = 1 g = 1, h = -3, i = -1
Calculando cada parte:
ei - fh = (2)(-1) - (1)(-3) = -2 + 3 = 1 di - fg = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 dh - eg = (1)(-3) - (2)(1) = -3 - 2 = -5

Passo 7

Agora, substituindo de volta na fórmula do determinante:
det(A) = 1 times 1 - 4 times (-2) + 2 times (-5) = 1 + 8 - 10 = -1

Passo 8

Como det(A) = -1 , que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores V1 , V2 e V3 são linearmente independentes.

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