Seja A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -4\end{array}\right].
Encontre a solução geral do sistema \left(A+4 I_{3}\right) X=\overline{0};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4\end{pmatrix}.
  • Pede-se a solução geral do sistema homogêneo
\bigl(A+4I_{3}\bigr)X=\overline{0},
onde I_{3} é a matriz identidade 3\times3 e X é o vetor coluna desconhecido.
  • Resultado desejado: descrever todos os vetores X\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem a igualdade (ou seja, encontrar o espaço nulo / núcleo da matriz A+4I_{3}).]

Passo 2

Calcular explicitamente A+4I_{3}.
  • A matriz identidade I_{3} tem 1 na diagonal e 0 fora da diagonal. Multiplicando por 4 obtém-se 4I_{3} que tem 4 na diagonal.
  • Somando elemento a elemento com A temos
A+4I_{3}=\begin{pmatrix}1+4 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 1+4 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 5 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrever o sistema linear equivalente e interpretar o que significa resolver [\bigl(A+4I_{3}\bigr)X=\overline{0}).
  • Seja X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}. Multiplicando a matriz pelo vetor resulta no sistema
\begin{cases} 5x+0y+5z=0,\\[4pt] 1x+5y+1z=0,\\[4pt] 0x+1y+0z=0. \end{cases}
  • Resolver esse sistema significa encontrar todos os tripletos ((x,y,z)] que satisfazem essas três equações simultaneamente. Como o lado direito é o vetor nulo, trata-se de um sistema homogêneo cujo conjunto solução é um subespaço vetorial (o núcleo da matriz).]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação (redução por linhas) passo a passo.
  • Escrevemos a matriz aumentada inicial
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 0 & 5 & 0\\[4pt] 1 & 5 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Dividimos a primeira linha por 5 para facilitar:
R_{1}\leftarrow \frac{1}{5}R_{1} \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 5 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Subtraímos a nova R_{1} de R_{2} para zerar a primeira coluna em R_{2}:
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Dividimos R_{2} por 5:
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{5}R_{2} \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Subtraímos R_{2} de R_{3} para zerar a segunda coluna em R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • A matriz está em forma escalonada reduzida (ou próxima dela). As equações correspondentes são
\begin{cases} x+z=0,\\[4pt] y=0. \end{cases}]

Passo 5

Interpretar as equações finais e escrever a solução em forma paramétrica.
  • A segunda equação dá diretamente \;y=0.
  • A primeira equação dá \;x+z=0, isto é \;x=-z.
  • Introduzimos um parâmetro livre para a variável livre z. Seja \;t=z\in\mathbb{R}. Então
x=-t,\qquad y=0,\qquad z=t.
  • Isso descreve todas as soluções: para cada real t obtemos um vetor solução. Uma forma conveniente de escrever isso é em forma paramétrica por vetor.

Resposta

X=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

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