Para cada um dos sistemas abaixo, transcreva o sistema matricialmente, resolva cada sistema linear interpretando geometricamente sua solução:
a)
b) 2 x+y & =2 x-y & =4
c) x-2 y & =-2 2 x-4 y & =-4
d) lx+y=2 x+y=-3
e) x+y+z & =3 2 y+z & =2 y+2 z & =2
f) cccx+2 y+z & =3 -x-2 y-z & = & -3 2 x+4 y+2 z & =6
g) cx-4 y-3 z=2 3 x-12 y-9 z=6 x+y+z=1
h) rlcx+3 y-5 z & =-20 7 x-2 y+3 z & = & 2 2 x+6 y-10 z & =50
i) cx+y+z=1 2 x-y+3 z=0 -x+y-5 z=2
j) c9 x+y-5 z=16 18 x+2 y-10 z=32 -9 x-y+5 z=4
Passo 1
O enunciado pede para cada sistema escrever sua forma matricial, resolver por eliminação ou inversão de matriz e interpretar geometricamente a solução (ponto, reta, plano ou vazio). Vamos usar conceitos de classificação de sistemas pelo posto da matriz de coeficientes e do sistema estendido, além de eliminação de Gauss para encontrar soluções.
Passo 2
Para (a) :
Forma matricial
Pela primeira . Substituindo na segunda:
logo .
Posto da matriz é (coeficientes independentes), solução única: interseção de duas retas num ponto .
Passo 3
Para (b) :
Da segunda . Substituindo na primeira:
Posto , solução única: ponto .
Passo 4
Para (c) :
A segunda equação é a primeira, logo posto da matriz de coeficientes e do extendido é (< número de incógnitas). Solução infinita: uma reta. Da primeira . Parametrizando :
Passo 5
Para (d) :
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo mas termos constantes diferentes, logo posto da matriz de coeficientes é e do extendido é sistema incompatível, sem solução (retas paralelas distintas).
Passo 6
Para (e) :
Da segunda . Na terceira , . Primeiro . Posto , solução única: ponto .
Passo 7
Para (f) :
A segunda é a primeira e a terceira é a primeira, posto da coeficientes e do extendido é (<). Sistema com duas equações dependentes: solução infinita, um plano. A equação independente define diretamente este plano em .
Passo 8
Para (g) :
A segunda é a primeira, posto da coeficientes e do extendido . Duas equações independentes em três incógnitas reta. Da primeira . Na terceira:
Parametrizando : , .
Passo 9
Para (h) :
A terceira é a primeira no lado dos coeficientes mas no termo independente posto dos coeficientes , do extendido incompatível, sem solução.
Passo 10
Para (i) :
Usando eliminação: da primeira . Substituindo nas outras e resolvendo, obtemos
Posto , solução única: ponto .
Passo 11
Para (j) :
A segunda é a primeira corretamente, mas a terceira seria a primeira no coeficiente e daria , não . Posto coeficientes , extendido incompatível, sem solução.
Resposta
a) solução única l(-4,5r).
b) solução única l(2,-2r).
c) reta (2t-2,t)mid tinR.
d) sistema sem solução.
e) solução única l(tfrac53,tfrac23,tfrac23r).
f) plano (x,y,z)mid x+2y+z=3.
g) reta parametrizada l(x,y,zr)=l(tfrac65-tfrac t5,,-tfrac1+4t5,,tr).
h) sem solução.
i) solução única l(1,tfrac12,-tfrac12r).
j) sem solução.