Dada a matriz A=(rrr1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 2 & -5 & 3), indique a matriz (A mid I3) e determine A^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 2 & -5 & 3
e pede (i) montarmos a matriz aumentada (Amid I3) e (ii) determinarmos A^-1. Para isso, vamos usar o método de Gauss– Jordan, aplicando operações elementares até transformar A em I3 e, simultaneamente, I3 em A^-1.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
(Amid I3) =(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & -5 & 3 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Zeramos os elementos abaixo do pivô na coluna 1 usando R2 R2+R1 e R3 R3-2R1:
(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & -5 & 3 & -2 & 0 & 1 )

Passo 4

Escalonamos o pivô da linha 2 dividindo por -1:
R2 -1cdot R2 Longrightarrow (ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & -5 & 3 & -2 & 0 & 1 )

Passo 5

Zeramos o elemento em (3,2) com R3 R3+5,R2:
(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 3 & -7 & -5 & 1 )

Passo 6

Escalonamos o pivô da linha 3 dividindo por 3:
R3 tfrac13R3 Longrightarrow (ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac73 & -tfrac53 & tfrac13 )

Passo 7

Agora as colunas 1, 2 e 3 da parte esquerda já são I3, e não há mais eliminações necessárias nas colunas 1 e 2 pois já estão zeradas acima do pivô da linha 3. Portanto, a parte direita é exatamente A^-1.

Resposta

A matriz aumentada é
(Amid I3) =(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & -5 & 3 & 0 & 0 & 1 ),
e
A^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 -tfrac73 & -tfrac53 & tfrac13

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