Seja
uma matriz de ordem
tal que a matriz
é invertível. A matriz
é simétrica? E idempotente?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
tal que
é invertível. Definimos
Queremos mostrar que
é simétrica (isto é,
) e idempotente (isto é,
).
Passo 2
Para provar que
é simétrica, calculamos a transposta de
:
Como
é simétrica, sua inversa também é simétrica, isto é,
Logo
o que prova que
é simétrica.
Passo 3
Agora, para ver que
é idempotente, calculamos
:
Aqui usamos que
A' A é invertível e, portanto,
(A' A)^-1(A' A)=In .
Resposta
Sim, a matriz
A,(A' A)^-1A' é ao mesmo tempo simétrica e idempotente.