Seja A uma matriz de ordem m times n tal que a matriz (A^prime cdot A) é invertível. A matriz A cdot(A^prime cdot A)^-1 cdot A^prime é simétrica? E idempotente?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz mtimes n tal que l(A' Ar) é invertível. Definimos
P ;=; A,l(A' Ar)^-1A'
Queremos mostrar que P é simétrica (isto é, P'=P) e idempotente (isto é, P^2=P).

Passo 2

Para provar que P é simétrica, calculamos a transposta de P:
P' ;=;l(A,(A' A)^-1A'r)' =;A,l((A' A)^-1r)',A'
Como A' A é simétrica, sua inversa também é simétrica, isto é,
l((A' A)^-1r)'=(A' A)^-1
Logo
P'=A,(A' A)^-1A'=P,
o que prova que P é simétrica.

Passo 3

Agora, para ver que P é idempotente, calculamos P^2:
P^2 =l(A,(A' A)^-1A'r)l(A,(A' A)^-1A'r) = A,(A' A)^-1underbraceA' AIn,(A' A)^-1A' = A,(A' A)^-1A' = P
Aqui usamos que A' A é invertível e, portanto, (A' A)^-1(A' A)=In.

Resposta

Sim, a matriz A,(A' A)^-1A' é ao mesmo tempo simétrica e idempotente.

Exercícios relacionados