Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
a) det(A B)=det(B A)
b) det(2 A^T)=det(2 A)
c) det(2 A)=2 det A
d) det(A^2)=(det A)^2
e) det Ai j<det A

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n e pede para determinar se cada afirmação sobre determinantes é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar as propriedades básicas:
det(AB)=det(A)det(B)
det(A^T)=det(A)
det(kA)=k^ndet(A)para qualquer escalar (k)

Passo 2

(a) Queremos ver se det(AB)=det(BA). Pela propriedade de produto,
det(AB)=det(A)det(B)
e
det(BA)=det(B)det(A)
Como a multiplicação de números é comutativa, det(A)det(B)=det(B)det(A). Logo, a igualdade vale e a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) Comparamos det(2A^T) e det(2A). Usando det(kA)=k^ndet(A) e det(A^T)=det(A), temos
det(2A^T)=2^ndet(A^T)=2^ndet(A),
det(2A)=2^ndet(A)
Como ambos dão 2^ndet(A), a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) A afirmação diz det(2A)=2det(A). Mas pelo que vimos,
det(2A)=2^ndet(A)
Para n>1, 2^nneq2, então em geral det(2A)neq2det(A). Só seria igual se n=1. Como o enunciado não fixou n=1, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) Para det(A^2) usamos a propriedade de produto:
det(A^2)=det(Acdot A)=det(A)det(A)=(det(A))^2
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Aqui Aij designa a matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j de A, de ordem n-1. A afirmação det(Aij)<det(A) não vale em geral. Por exemplo, se A=In (a identidade), então det(A)=1 e cada menor principal det(Aii)=1, de modo que não é menor. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Falsa

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