Sejam A e B matrizes do tipo
. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
de ordem
e pede para determinar se cada afirmação sobre determinantes é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar as propriedades básicas:
Passo 2
(a) Queremos ver se
. Pela propriedade de produto,
e
Como a multiplicação de números é comutativa,
. Logo, a igualdade vale e a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) Comparamos
e
. Usando
e
, temos
Como ambos dão
, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) A afirmação diz
. Mas pelo que vimos,
Para
,
, então em geral
. Só seria igual se
. Como o enunciado não fixou
, a afirmação é falsa.
Passo 5
(d) Para
usamos a propriedade de produto:
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) Aqui
designa a matriz que sobra ao remover a linha
e a coluna
de
, de ordem
. A afirmação
não vale em geral. Por exemplo, se
(a identidade), então
e cada menor principal
, de modo que não é menor. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Falsa