Cada um dos sistemas de equações abaixo não tem nenhuma solução. Explique geometricamente por que isto ocorre (não use o fato de que o determinante da matriz dos coeficientes é zero na sua explicação).
Sistema (A)
x-y+3 z=3,
x-y+3 z=6,
3 x-5 z=0,

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações em R^3:
x - y + 3z = 3, x - y + 3z = 6, 3x - 5z = 0
Geométricamente, cada equação representa um plano no espaço. Para resolver precisamos analisar posições relativas desses planos (interseção, paralelismo, etc.).

Passo 2

Extraímos o vetor normal de cada plano a partir dos coeficientes de (x,y,z):
Plano P1colon x - y + 3z = 3 tem normal
n1 = (1,,-1,,3)
Plano P2colon x - y + 3z = 6 tem normal
n2 = (1,,-1,,3)
Plano P3colon 3x - 5z = 0 tem normal
n3 = (3,,0,,-5)

Passo 3

Vemos que n1 = n2, ou seja, P1 e P2 são planos paralelos (mesma direção de normal). Contudo, os termos constantes são diferentes ( 3 em P1 e 6 em P2), logo são dois planos paralelos distintos que não se intersectam:
P1 cap P2 = varnothing

Passo 4

Se dois planos não se intersectam, não existe ponto que satisfaça simultaneamente as equações de P1 e P2. A inclusão da terceira equação (plano P3) não muda esse fato, pois não há nem mesmo interseção entre P1 e P2. Portanto, o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não tem solução porque as duas primeiras equações definem dois planos paralelos e distintos que não se encontram no espaço.

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