Considere o seguinte sistema de equações:
4 x+3 y+3 z=-8, 2 x+y+z=-4, 3 x-2 y+(m^2-6) z=m-4,
onde m é uma constante real.
Determine o(s) valor(es) de m tais que:
(a) O sistema não possua nenhuma solução.
(b) O sistema possua uma única solução (Dica: use a regra de Crammer).
(c) O sistema possua um número infinito de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos apresenta um sistema com três equações e três incógnitas ( x, y, z), e tem um parâmetro m que influencia as soluções possíveis. Nosso objetivo é descobrir os valores de m que fazem com que o sistema tenha:
a) Nenhuma solução.
b) Uma única solução.
c) Um número infinito de soluções.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e a regra de Crammer. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nosso sistema de equações:
4x + 3y + 3z = -8 (Equação 1) 2x + y + z = -4 (Equação 2) 3x - 2y + (m^2 - 6)z = m - 4 (Equação 3) çãçãçã
Identificamos que temos um sistema linear com três equações e três incógnitas. Para analisar as soluções, precisamos olhar para o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes A do sistema:
A = 4 & 3 & 3 2 & 1 & 1 3 & -2 & m^2 - 6
O determinante dessa matriz nos dirá se o sistema tem uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 4 cdot 1 & 1 -2 & m^2 - 6 - 3 cdot 2 & 1 3 & m^2 - 6 + 3 cdot 2 & 1 3 & -2
Vamos calcular cada determinante menor:
1 & 1 -2 & m^2 - 6 = 1 cdot (m^2 - 6) - 1 cdot (-2) = m^2 - 6 + 2 = m^2 - 4
2 & 1 3 & m^2 - 6 = 2 cdot (m^2 - 6) - 1 cdot 3 = 2m^2 - 12 - 3 = 2m^2 - 15
2 & 1 3 & -2 = 2 cdot (-2) - 1 cdot 3 = -4 - 3 = -7
Agora, substituímos de volta:
det(A) = 4(m^2 - 4) - 3(2m^2 - 15) + 3(-7) = 4m^2 - 16 - 6m^2 + 45 - 21 = -2m^2 + 8

Passo 5

Com o determinante calculado, temos:
det(A) = -2m^2 + 8 = -2(m^2 - 4) = -2(m - 2)(m + 2)
Agora, vamos analisar os casos:
a) Sistema não possui nenhuma solução:
Isso ocorre quando o determinante é zero e o sistema é inconsistente. Vamos primeiro ver quando o determinante é zero:
-2(m - 2)(m + 2) = 0 Rightarrow m = 2 ou m = -2
Agora, precisamos verificar se nesses valores o sistema é inconsistente.
b) Sistema possui uma única solução:
O sistema terá uma única solução quando o determinante for diferente de zero:
det(A) neq 0 Rightarrow -2(m - 2)(m + 2) neq 0 Rightarrow m neq 2 e m neq -2
c) Sistema possui um número infinito de soluções:
Isso acontece quando o determinante é zero e o sistema é consistente, ou seja, as equações são dependentes.

Passo 6

Vamos verificar os casos específicos:
a) Nenhuma solução ([m = 2) ou ):
Para :
Substituindo na Equação 3:
Vamos comparar com as Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 2 por 2:
Agora, subtraindo essa da Equação 1:
Substituindo (y = -z] na Equação 3:
Parece que temos uma solução, então para [m = 2) o sistema possui uma única solução, não nenhuma. Portanto, não resulta em nenhum caso sem solução.
Para :
Substituindo na Equação 3:
Agora, o sistema fica:
Multiplicando a Equação 2 por 2:
Subtraindo essa da Equação 1:
Substituindo (y = -z] na Equação 3:
Novamente, temos uma solução, então também resulta em uma única solução. Portanto, não há valores de que fazem o sistema não ter solução.

Resposta

Resposta Final:
a) Não existem valores de m que fazem o sistema não ter solução.
b) O sistema possui uma única solução para todo m diferente de 2 e -2, ou seja, quando m neq 2 e m neq -2.
c) O sistema não possui um número infinito de soluções para nenhum valor de m.

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