Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
3 x1+2 x2-x3 & =4 x1-2 x2+2 x3 & =1 11 x1+2 x2+x3 & =14

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
3x1+2x2-x3&=4, x1-2x2+2x3&=1, 11x1+2x2+x3&=14
e pede para usar eliminação gaussiana até a forma linha-degrau, verificar consistência e, como há variável livre, chegar à forma linha-degrau reduzida e descrever todas as soluções.

Passo 2

Escrevemos o sistema como matriz aumentada e, para facilitar pivô 1, trocamos :

Passo 3

Para zerar abaixo do pivô de R2, fazemos R3>=ts R3-3R2:
[, ccc|c 1 & -2 & 2 & 1 0 & 8 & -7 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ]
Esta é a forma linha-degrau.

Passo 4

Não há linha com 0,x1+0,x2+0,x3=b e bneq0, logo o sistema é consistente. Há pivôs nas colunas 1 e 2, e a coluna 3 é livre. Para ir à forma reduzida, normalizamos e eliminamos acima dos pivôs:
R2>=ts tfrac18R2, R1>=ts R1+2R2 ;Longrightarrow; [, ccc|c 1 & 0 & tfrac14 & tfrac54 0 & 1 & -tfrac78 & tfrac18 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Da última matriz lemos as equações
x1+tfrac14x3=tfrac54, x2-tfrac78x3=tfrac18,
logo tomando x3=tinR como parâmetro livre,
x1=tfrac54-tfrac14t, x2=tfrac18+tfrac78t, x3=t

Resposta

(x1,x2,x3)mid x1=tfrac54-tfrac14t,;x2=tfrac18+tfrac78t,;x3=t,;tinR

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