É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Os autovalores de A são lambda=3 e lambda=1 e a soma das dimensões dos autoespaços v3 e v1 é 2 .
b. Os autovalores de A são lambda=3 e lambda=1 e a dimensão dos autoespaços dim(v3)=1 e dim(v1)=1.
c. Os autovalores de A são lambda=3 e lambda=1 e a dimensão dos autoespaços dim(v3)=2 e dim(v1)=1.
d. Os autovalores de A são lambda=-3 e lambda=-1 e a dimensão dos autoespaços dim(v-3)=2 e dim(v-1)=1.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A= 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & 1
e pede os autovalores de A e as dimensões dos correspondentes autoespaços. Vamos usar que, para matrizes triangulares, os autovalores são os elementos da diagonal e depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada lambda.
Passo 2
Como A é triangular superior, os autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=3, lambda2=3, lambda3=1
Logo há lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=1 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Para resolvemos
As equações são , e , todas dando . Não há restrição sobre e , que ficam livres. Portanto o autoespaço de tem dimensão 2.
Passo 4
Para resolvemos
As equações são
Fica livre, portanto o autoespaço de tem dimensão 1.
Passo 5
Concluímos que os autovalores são lambda=3 (dimensão do autoespaço 2) e lambda=1 (dimensão do autoespaço 1), o que corresponde à alternativa (c).
Resposta
c. Os autovalores de A são lambda=3 e lambda=1 e a dimensão dos autoespaços dim(v3)=2 e dim(v1)=1.