Considere T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(2 x+2 y,-3 x-5 y, 3 z)
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. O polinômio característico de T é p(lambda)=-(3-lambda)(1-lambda)(4+lambda) e os autoespaços V1, V3 e V-4 de T satisfazem dim(V1)+dim(V3)+dim(V-4)=2.
b. O polinômio característico de T é p(lambda)=(3-lambda)(1-lambda)(4+lambda) e os autoespaços V1, V3 e V-4 de T satisfazem dim(V1)+dim(V3)+dim(V-4)=3.
c. Os autovalores de T são 1,3 e -4 e o conjunto (-2,1,0),(0,0,1),(-1,3,0) é uma base de R^3 formada por autovetores de T
d. Os autovalores de T são 1,3 e 4 e os autoespaços V1, V3 e V4 de T satisfazem dim(V1)+dim(V3)+dim(V4)=3.
e. O polinômio característico de T é p(lambda)=(3-lambda)(1-lambda)(4+lambda) e o conjunto (-2,1,0),(0,0,1),(-1,3,0) é uma base de R^3 formada por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x+2y,,-3x-5y,,3z)
Vamos achar o polinômio característico de T, seus autovalores e autovetores, e verificar qual das afirmações (a)–(e) está correta.

Passo 2

Escrevendo a matriz de T na base canônica, vemos que ela é em bloco
A = 2 & 2 & 0 -3 & -5 & 0 0 & 0 & 3 ,
onde o bloco 2times2 atua nas coordenadas x,y e o escalar 3 atua em z. O polinômio característico é
p(lambda)=det(A-lambda I) =det!2-lambda&2&0-3&-5-lambda&00&0&3-lambda =l[det2-lambda&2-3&-5-lambdar],(3-lambda)
No bloco 2times2
det2-lambda&2-3&-5-lambda =(2-lambda)(-5-lambda)-2(-3) =lambda^2+3lambda-4 =(lambda-1)(lambda+4)
Logo
p(lambda)=(lambda-1)(lambda+4)(3-lambda)

Passo 3

As raízes de p(lambda)=0 são
lambda1=1,lambda2=-4,lambda3=3
Cada autovalor aparece com multiplicidade algébrica 1, logo cada autoespaço tem dimensão 1 e a soma das dimensões é 1+1+1=3.

Passo 4

Para
Um autovetor é ((-2,1,0)].
Para
Um autovetor é ((-1,3,0)].
Para resolvemos
um autovetor é .
Os vetores são três autovetores correspondentes a e são linearmente independentes em . Portanto formam uma base de autovetores.

Resposta

A opção correta é a letra c.

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