As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau reduzida. Em cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares correspondentes.
(a) \left(\begin{array}{lll|r}1 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{lll|l}1 & 4 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{rrr|r}1 & -3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(d) \left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 4\end{array}\right]
(e) \left.\quad \begin{array}{rrrr|r}1 & 5 & -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(f) \left.\quad \begin{array}{rrr|r}0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
4. Para cada um dos sistemas do Problema 3, faça uma lista das variáveis principais e uma segunda lista das variáveis livres.

Passo 1

O enunciado dá seis matrizes aumentadas que já estão na forma linha degrau reduzida (RREF). Para cada uma devo:
  • encontrar o conjunto solução do sistema linear correspondente;
  • listar as variáveis principais (com pivot) e as variáveis livres.
Vou adotar a notação padrão: as incógnitas são \,x_1,x_2,x_3,\dots na ordem das colunas de coeficientes da matriz (por exemplo, se a matriz tem 3 colunas de coeficientes, as variáveis são \,x_1,x_2,x_3). A coluna após a barra vertical é o vetor dos termos constantes.
Não vou resolver nada ainda aqui; só identifiquei o que o problema pede e quais matrizes temos.

Passo 2

Explicação rápida (fórmula mental) sobre como ler uma matriz aumentada em RREF:
  • Cada linha não nula tem um único 1 chamado pivot (ou pivô) e esse 1 é o único elemento não nulo na sua coluna;
  • Colunas que contêm pivôs correspondem a variáveis principais (ou básicas) — essas variáveis são expressas em termos das outras;
  • Colunas sem pivôs correspondem a variáveis livres — atribuímos parâmetros (por exemplo t,s) a elas e expressamos as variáveis principais em função desses parâmetros;
  • Se houver uma linha da forma \,[0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, então a equação é 0=b — contradição — e o sistema é inconsistente (não tem solução).
Vou aplicar esse raciocínio a cada item (a)–(f).

Passo 3

Caso (a). Matriz
\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)
Lendo linha a linha como equações:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_1 &= -2,\\\ &\text{linha 2: }& x_2 &= 5,\\\ &\text{linha 3: }& x_3 &= 3. \end{aligned}
Aqui cada coluna de variável tem um pivot (colunas 1,2,3), logo não há variáveis livres; todas são variáveis principais. A solução é única:
(x_1,x_2,x_3)=(-2,5,3).

Passo 4

Caso (b). Matriz
\left(\begin{array}{ccc|r} 1 & 4 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Lendo as linhas:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_1 + 4x_2 &= 2,\\\ &\text{linha 2: }& x_3 &= 3,\\\ &\text{linha 3: }& 0 &= 1. \end{aligned}
A terceira linha dá 0=1, que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente e não tem solução (conjunto solução vazio).
Quanto às pivots: há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 3 (linha 2). A coluna 2 não tem pivô, então x_2 seria uma variável livre se o sistema fosse consistente. Mesmo assim, por causa da linha contraditória, não existe solução.

Passo 5

Caso (c). Matriz
\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Equações:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_1 - 3x_2 &= 2,\\\ &\text{linha 2: }& x_3 &= -2,\\\ &\text{linha 3: }& 0 &= 0 \\ (\text{sem informação nova}). \end{aligned}çã
Pivôs aparecem nas colunas 1 e 3. A coluna 2 não tem pivô, logo x_2 é variável livre. Vamos parametizar:
  • Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro para x_2, ou seja x_2=t.
  • Da linha 1: x_1 = 2 + 3x_2 = 2 + 3t.
  • Da linha 2: x_3 = -2.
Assim o conjunto solução é
(x_1,x_2,x_3) = (\,2+3t,\; t,\; -2\,),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Caso (d). Matriz
\left[\begin{array}{cccc|r} 1 & 2 & 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right]
Aqui há 4 colunas de variável, então as incógnitas são \,x_1,x_2,x_3,x_4. As equações são:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_1 + 2x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 &= 5,\\\ &\text{linha 2: }& x_3 + 3x_4 &= 4. \end{aligned}
Pivôs: coluna 1 (para x_1) e coluna 3 (para x_3). Colunas 2 e 4 não têm pivôs, então x_2 e x_4 são variáveis livres.
Parametrização:
  • Seja s\in\mathbb{R} o parâmetro para x_2: x_2=s.
  • Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro para x_4: x_4=t.
  • Da linha 2: x_3 = 4 - 3x_4 = 4 - 3t.
  • Da linha 1: x_1 = 5 - 2x_2 - x_4 = 5 - 2s - t.
Logo
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (\,5-2s-t,\; s,\; 4-3t,\; t\,),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Caso (e). Matriz
\left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
São 4 variáveis \,x_1,x_2,x_3,x_4. As equações relevantes:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 0\cdot x_4 &= 3,\\\ &\text{linha 2: }& x_4 &= 6. \end{aligned}
Pivôs: coluna 1 (para x_1) e coluna 4 (para x_4). Colunas 2 e 3 não têm pivôs, portanto x_2 e x_3 são variáveis livres.
Parametrização:
  • Seja s\in\mathbb{R} para x_2 e t\in\mathbb{R} para x_3.
  • Da linha 1: x_1 = 3 - 5x_2 + 2x_3 = 3 - 5s + 2t.
  • Da linha 2: x_4 = 6.
Assim
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (\,3-5s+2t,\; s,\; t,\; 6\,),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Caso (f). Matriz
\left(\begin{array}{rrr|r} 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
São 3 variáveis \,x_1,x_2,x_3. As equações são:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }& x_2 &= 2,\\\ &\text{linha 2: }& x_3 &= -1. \end{aligned}
A coluna 2 tem pivô e a coluna 3 tem pivô; a coluna 1 não tem pivô, então x_1 é livre.
Parametrização:
  • Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro para x_1: x_1=t.
  • Então x_2=2 e x_3=-1 fixos.
Conjunto solução:
(x_1,x_2,x_3) = (\,t,\;2,\;-1\,),\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) (x_1,x_2,x_3)=(-2,5,3)
Variáveis principais: x_1,x_2,x_3. Variáveis livres: nenhuma.
(b) nenhum (sistema inconsistente)
Variáveis principais: x_1,x_3. Variáveis livres: x_2.
(c) (x_1,x_2,x_3)=(\,2+3t,\;t,\;-2\,),\\ t\in\mathbb{R}
Variáveis principais: x_1,x_3. Variável livre: x_2.
(d) (x_1,x_2,x_3,x_4)=(\,5-2s-t,\;s,\;4-3t,\;t\,),\\ s,t\in\mathbb{R}
Variáveis principais: x_1,x_3. Variáveis livres: x_2,x_4.
(e) (x_1,x_2,x_3,x_4)=(\,3-5s+2t,\;s,\;t,\;6\,),\\ s,t\in\mathbb{R}
Variáveis principais: x_1,x_4. Variáveis livres: x_2,x_3.
(f) (x_1,x_2,x_3)=(\,t,\;2,\;-1\,),\\ t\in\mathbb{R}
Variáveis principais: x_2,x_3. Variável livre: x_1.

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