As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau reduzida. Em cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares correspondentes.
(a) \left(\begin{array}{lll|r}1 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{lll|l}1 & 4 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{rrr|r}1 & -3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(d) \left[\begin{array}{llll|l}1 & 2 & 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 4\end{array}\right]
(e) \left.\quad \begin{array}{rrrr|r}1 & 5 & -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(f) \left.\quad \begin{array}{rrr|r}0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
4. Para cada um dos sistemas do Problema 3, faça uma lista das variáveis principais e uma segunda lista das variáveis livres.
Passo 1
O enunciado dá seis matrizes aumentadas que já estão na forma linha degrau reduzida (RREF). Para cada uma devo:
encontrar o conjunto solução do sistema linear correspondente;
listar as variáveis principais (com pivot) e as variáveis livres.
Vou adotar a notação padrão: as incógnitas são \,x_1,x_2,x_3,\dots na ordem das colunas de coeficientes da matriz (por exemplo, se a matriz tem 3 colunas de coeficientes, as variáveis são \,x_1,x_2,x_3). A coluna após a barra vertical é o vetor dos termos constantes.
Não vou resolver nada ainda aqui; só identifiquei o que o problema pede e quais matrizes temos.
Passo 2
Explicação rápida (fórmula mental) sobre como ler uma matriz aumentada em RREF:
Cada linha não nula tem um único 1 chamado pivot (ou pivô) e esse 1 é o único elemento não nulo na sua coluna;
Colunas que contêm pivôs correspondem a variáveis principais (ou básicas) — essas variáveis são expressas em termos das outras;
Colunas sem pivôs correspondem a variáveis livres — atribuímos parâmetros (por exemplo t,s) a elas e expressamos as variáveis principais em função desses parâmetros;
Se houver uma linha da forma \,[0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, então a equação é 0=b — contradição — e o sistema é inconsistente (não tem solução).
A terceira linha dá 0=1, que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente e não tem solução (conjunto solução vazio).
Quanto às pivots: há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 3 (linha 2). A coluna 2 não tem pivô, então x_2 seria uma variável livre se o sistema fosse consistente. Mesmo assim, por causa da linha contraditória, não existe solução.