Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
3 x+5 y & =4 x+2 y & =-2

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas e pede para encontrarmos o conjunto-solução usando o método da matriz inversa. O conteúdo aqui é resolução de sistemas 2times2 por meio da inversão da matriz de coeficientes, ou seja, escrever o sistema como
A ,x = b
e calcular x = A^-1b.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, temos
A = 3 & 5 [-6pt] 1 & 2, x = x [-3pt] y, b = 4 [-3pt] -2,
de modo que A,x=b.
]

Passo 3

Para usar a fórmula da inversa, primeiro calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot2 - 1cdot5 = 6 - 5 = 1
Como det(A)neq0, a matriz é invertível.

Passo 4

A fórmula da inversa de uma matriz 2times2
a & b [-3pt] c & d
é
l(A^-1r) = 1ad - bc d & -b [-3pt] -c & a
Aqui a=3, b=5, c=1, d=2 e ad-bc=1, logo
A^-1 = 2 & -5 [-3pt] -1 & 3
]

Passo 5

Multiplicamos A^-1 por b:
x = A^-1b = 2 & -5 [-3pt] -1 & 3 4 [-3pt] -2 = 2cdot4 + (-5)cdot(-2) [-4pt] -1cdot4 + 3cdot(-2) = 18 [-3pt] -10
]

Resposta

O conjunto-solução é (18,-10).

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