Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
rx+2 y+z=1 2 x+3 y-z=2 -x-y+z=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + 2y + z = 1, 2x + 3y - z = 2, -,x - y + z = 3,
e pede para resolver usando o método da matriz inversa. Vamos tratar isso como um problema de álgebra linear em que escrevemos A,x=b e depois calculamos x=A^-1b.

Passo 2

Definimos a matriz dos coeficientes, o vetor incógnita e o vetor dos termos independentes:
Pelo método da matriz inversa, se for invertível, então

Passo 3

Primeiro verificamos a invertibilidade de A calculando seu determinante:
det(A) =1cdotdet3 & -1-1 & 1 -2cdotdet2 & -1-1 & 1 +1cdotdet2 & 3-1 & -1 =2 - 2 + 1 = 1
Como det(A)=1neq0, A é invertível.

Passo 4

Agora calculamos a matriz dos cofatores C de A, depois a adjunta adj(A)=C^T, e finalmente
A^-1 = 1det(A),adj(A) = adj(A),
pois det(A)=1. Um cálculo direto dá
A^-1 = 2 & -3 & -5 -1 & 2 & 3 1 & -1 & -1

Passo 5

Multiplicamos A^-1 pelo vetor b:
2 & -3 & -5 -1 & 2 & 3 1 & -1 & -1 123 = 2cdot1 + (-3)cdot2 + (-5)cdot3 (-1)cdot1 + 2cdot2 + 3cdot3 1cdot1 + (-1)cdot2 + (-1)cdot3 = -1912-4

Resposta

(x,y,z)=(-19,,12,,-4)

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