Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja possível e determinado.
x+2 y+k z & =-1 k x-y+z & =2 x+y+z & =0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + 2y + k,z = -1, k,x - y + z = 2, x + y + z = 0,
e pede o valor de k para que haja solução única (sistema possível e determinado).
O conteúdo aqui é a condição de invertibilidade da matriz de coeficientes, ou seja, precisamos que o determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & k k & -1 & 1 1 & 1 & 1
e calcular seu determinante det(A). Expandindo pela primeira linha,
det(A) = 1cdot-1 & 11 & 1 -2cdotk & 11 & 1 +kcdotk & -11 & 1

Passo 3

Calculando cada menor:
-1 & 11 & 1 =-1cdot1 - 1cdot1 = -2, k & 11 & 1 =kcdot1 - 1cdot1 = k-1,
k & -11 & 1 =kcdot1 - (-1)cdot1 = k+1
Substituindo,
det(A) = 1cdot(-2) ;-;2cdot(k-1);+;kcdot(k+1) =-2 -2k+2 + k^2+k =k^2 - k = k,(k-1)
Para ter solução única, precisamos de det(A)neq0, isto é,
k,(k-1)neq0

Resposta

kneq0 e kneq1.

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