Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja possível e determinado.
2 x-5 y+2 z & =0 x+y+z & =0 2 x+k z & =0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de k que tornam o sistema
2x - 5y + 2z = 0, x + y + z = 0, 2x + k,z = 0
possível e determinado. Como temos três equações lineares em três incógnitas, o sistema será possível e determinado exatamente quando a matriz dos coeficientes for invertível, isto é, quando seu determinante for não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos seu determinante por regra de Sarrus ou expansão de Laplace. Por exemplo, expandindo pela primeira linha:
det(A) =2cdotdet!1 & 10 & k -(-5)cdotdet!1 & 12 & k +2cdotdet!1 & 12 & 0
Agora cada menor:
det!1 & 10 & k=1cdot k - 1cdot 0 = k,
det!1 & 12 & k=1cdot k - 1cdot 2 = k-2,
det!1 & 12 & 0=1cdot 0 - 1cdot 2 = -2
Substituindo,
det(A)=2cdot k +5,(k-2)+2cdot(-2) =2k+5k-10-4 =7k-14 =7,(k-2)

Passo 3

Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos de
det(A)neq 0 Longrightarrow 7,(k-2)neq 0 Longrightarrow kneq 2

Resposta

kneq 2

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