Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de para que o sistema seja possível e determinado.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de k que tornam o sistema
2x - 5y + 2z = 0, x + y + z = 0, 2x + k,z = 0
possível e determinado. Como temos três equações lineares em três incógnitas, o sistema será possível e determinado exatamente quando a matriz dos coeficientes for invertível, isto é, quando seu determinante for não nulo.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos seu determinante por regra de Sarrus ou expansão de Laplace. Por exemplo, expandindo pela primeira linha:
det(A) =2cdotdet!1 & 10 & k -(-5)cdotdet!1 & 12 & k +2cdotdet!1 & 12 & 0
Agora cada menor:
det!1 & 10 & k=1cdot k - 1cdot 0 = k,
det!1 & 12 & k=1cdot k - 1cdot 2 = k-2,
det!1 & 12 & 0=1cdot 0 - 1cdot 2 = -2
Substituindo,
det(A)=2cdot k +5,(k-2)+2cdot(-2) =2k+5k-10-4 =7k-14 =7,(k-2)
Passo 3
Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos de