Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x+y-z & =-1 2 x+y-z & =1 3 x+y+2 z & =5 4 x+2 y+z & =4

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
O conteúdo é resolução de sistema por operações elementares de linha. Vamos precisar extrair as matrizes , e , escalonar, identificar pivôs (variáveis dependentes) e livres, classificar (consistente/inconsistente e determinado/indeterminado) e, se houver solução, encontrar .

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 4 & 2 & 1 ,
o vetor dos termos independentes é
b = -1 1 5 4 ,
e a matriz aumentada é
[Amid b] = 1 & 1 & -1 & !!-1 2 & 1 & -1 & 1 3 & 1 & 2 & 5 4 & 2 & 1 & 4

Passo 3

Agora escalonamos [Amid b] por operações na linha:
  1. L2 L2 - 2L1, L3 L3 - 3L1, L4 L4 - 4L1
1 & 1 & -1 & -1 0 & -1 & 1 & 3 0 & -2 & 5 & 8 0 & -2 & 5 & 8
  1. L3 L3 - 2L2, L4 L4 - 2L2
1 & 1 & -1 & -1 0 & -1 & 1 & 3 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 2
  1. L4 L4 - L3 e em seguida normalizamos pivôs: L2 -L2, L3 tfrac13L3, obtendo a forma escalonada
1 & 1 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -3 0 & 0 & 1 & 2/3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3, correspondentes a x, y e z. Não há coluna sem pivô em variáveis, logo não há variáveis livres; as variáveis x,y,z são todas dependentes.
O posto da matriz de coeficientes é rank(A)=3 e o número de incógnitas é 3, e a linha zero na aumentada tem lado direito zero, então o sistema é consistente e tem solução única (determinado).

Passo 5

Fazendo retro-substituição da forma escalonada:
z = tfrac23, y - z = -3 implies y = -3 + tfrac23 = -tfrac73, x + y - z = -1 implies x = -1 -y + z = -1 + tfrac73 - tfrac23 = 2

Resposta

(i)
A= 1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 4 & 2 & 1 , b=-1154, [Amid b]= 1 & 1 & -1 & -1 2 & 1 & -1 & 1 3 & 1 & 2 & 5 4 & 2 & 1 & 4
(ii) Forma escalonada:
1 & 1 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -3 0 & 0 & 1 & 2/3 0 & 0 & 0 & 0
(iii) Variáveis livres: nenhuma. Variáveis dependentes: x,y,z.
(iv) Classificação: sistema consistente e determinado (solução única).
(v) Solução:
(x,y,z) = l(2,,-tfrac73,,tfrac23r)

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