Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
rx+2 y-z=2 2 x-3 y+z=0 4 x+y-z=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação de Gauss, o sistema
x + 2y - z = 2, 2x - 3y + z = 0, 4x + y - z = 4,
isto é, identificar a matriz dos coeficientes A, o vetor de termos independentes b, formar a matriz ampliada [Amid b], escaloná-la, determinar variáveis livres e dependentes, classificar o sistema e, se houver solução, apresentá-la.

Passo 2

Os objetos pedidos são
A = 1 & 2 & -1 2 & -3 & 1 4 & 1 & -1 , b = 204, [Amid b] = 1 & 2 & -1 & 2 2 & -3 & 1 & 0 4 & 1 & -1 & 4

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em [Amid b]:
  1. R2 R2 - 2R1 e R3 R3 - 4R1 dão
1 & 2 & -1 & 2 0 & -7 & 3 & -4 0 & -7 & 3 & -4
  1. R3 R3 - R2
1 & 2 & -1 & 2 0 & -7 & 3 & -4 0 & 0 & 0 & 0
  1. Dividindo R2 por -7 e, em seguida, eliminando o 2 acima de R2 em R1, obtemos a forma escalonada reduzida
1 & 0 & -tfrac17 & tfrac67 0 & 1 & -tfrac37 & tfrac47 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

A matriz tem posto rank=2 com 3 variáveis ( x,y,z). Os pivôs estão em x e y, logo x,y são variáveis dependentes e z é variável livre.

Passo 5

Como não apareceu uma linha do tipo [0;0;0mid c] com cneq0, o sistema é consistente e, por ter menos pivôs que variáveis, admite infinitas soluções.

Passo 6

Tomando z = tin R, as equações de R1 e R2 produzem
y = 47 + 37t, x = 67 + 17t

Resposta

i) A=1 & 2 & -12 & -3 & 14 & 1 & -1,
b=204,
[Amid b]= 1 & 2 & -1 & 2 2 & -3 & 1 & 0 4 & 1 & -1 & 4
ii) Matriz escalonada reduzida:
1 & 0 & -tfrac17 & tfrac67 0 & 1 & -tfrac37 & tfrac47 0 & 0 & 0 & 0
iii) Variáveis dependentes: x,y. Variável livre: z.
iv) Sistema consistente com infinitas soluções.
v) Solução geral:
(x,y,z)=l(tfrac67,tfrac47,0r) + tl(tfrac17,tfrac37,1r), tin R

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