Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD.
\left{ \begin{aligned} x+2 y+k z & =-1 \\ k x-y+z & =2 \\ x+y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os valores de k\) para que o sistema \[\begin{cases} x + 2y + k z = -1,\\\ k x - y + z = 2,\\\ x + y + z = 0 \end{cases}
seja SPD (possível e determinado), ou seja, tenha solução única.
Conteúdo usado: teoria de sistemas lineares e determinante de matriz (3\times 3]. Precisamos montar a matriz dos coeficientes e exigir que seu determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para que o sistema tenha solução única, é necessário e suficiente que
\det(A)\,\neq\,0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} -2\cdot \begin{vmatrix} k & 1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} +k\cdot \begin{vmatrix} k & -1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =(-1)\cdot1 - 1\cdot1 = -2,
\begin{vmatrix} k & 1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =k\cdot1 - 1\cdot1 = k - 1,
\begin{vmatrix} k & -1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =k\cdot1 - (-1)\cdot1 = k + 1.

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão de \det(A):
\det(A) = 1\cdot(-2) -2\cdot(k - 1) + k\cdot(k + 1).
Distribuindo:
\det(A) = -2 -2k +2 + k^2 + k = k^2 - k.
Logo
\det(A)=k\,(k-1).

Passo 5

Para que o sistema seja SPD, precisamos de \det(A)\neq0. Assim:
k\,(k-1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad k\neq0 \quad\text{e}\quad k\neq1.

Resposta

O sistema é SPD para
k\neq0\quad\text{e}\quad k\neq1.

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