Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD.
\left{\begin{aligned} x+2 y+k z & =-1 \\ k x-y+z & =2 \\ x+y+z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os valores de k\) para que o sistema
\[\begin{cases} x + 2y + k z = -1,\\\ k x - y + z = 2,\\\ x + y + z = 0 \end{cases}
seja SPD (possível e determinado), ou seja, tenha solução única.
Conteúdo usado: teoria de sistemas lineares e determinante de matriz (3\times 3]. Precisamos montar a matriz dos coeficientes e exigir que seu determinante seja diferente de zero.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para que o sistema tenha solução única, é necessário e suficiente que
\det(A)\,\neq\,0.
Passo 3
Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha: