Considere a transformação linear T: P_{2} \rightarrow P_{4} dada por T(p)=x p+x^{2} p+p(0).
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) O conjunto \left\{2, x-1, x^{2}+1\right\} formam uma base para P_{2}.
(02) Considere p(x)=x^{2}+2 x+3. Então T(p)=x^{4}+3 x^{3}+5 x^{2}+3 x+3.
(04) O núcleo N(T) só contém o polinômio nulo.
(08) A transformação linear T não é injetora.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}\to P_{4},\quad T(p)(x)=\bigl(x+x^{2}\bigr)\,p(x)+p(0),
e pede para identificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
(01) \{2,\;x-1,\;x^{2}+1\} é base de P_{2}.
(02) Para p(x)=x^{2}+2x+3, tem-se T(p)(x)=x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+3x+3.
(04) \ker(T)=\{0\}.
(08) T não é injetora.
Vamos checar cada uma usando conceitos de base, cálculo de T e núcleo de transformações lineares.

Passo 2

Verificação de (01): Para ser base de P_{2}\), o conjunto \(\{2,\;x-1,\;x^{2}+1\}\) deve ter 3 vetores linearmente independentes. Suponha \[a\cdot2 + b\,(x-1) + c\,(x^{2}+1)\equiv 0.
Isso gera o polinômio
c\,x^{2} + b\,x + \bigl(2a - b + c\bigr)=0.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} c=0,\\\ b=0,\\\\ 2a - b + c =0\implies 2a=0\implies a=0. \end{cases}
Logo só há solução trivial ((a,b,c)=(0,0,0)], o conjunto é LI e tem 3 elementos em dimensão 3, logo é base. (01) é verdadeira.

Passo 3

Verificação de (02): Para p(x)=x^{2}+2x+3 temos p(0)=3. Então
T(p)(x)=(x+x^{2})(x^{2}+2x+3)+3.
Calcule
(x+x^{2})(x^{2}+2x+3) =x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+3x,
e somando +3 resulta
T(p)(x)=x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+3x+3.
Logo (02) é verdadeira.

Passo 4

Verificação de (04): Seja p(x)=ax^{2}+bx+c. Então
T(p)(x) =a\,x^{4}+(b+a)\,x^{3}+(c+b+a)\,x^{2}+c\,x+c.
Para T(p)\equiv0 todos os coeficientes devem ser zero:
a=0,\;b+a=0\implies b=0,\;c+b+a=0\implies c=0,\;c=0,
de onde a=b=c=0. Assim \ker(T)=\{0\}. (04) é verdadeira.

Passo 5

Verificação de (08): Diz que T não é injetora. Mas como \ker(T)=\{0\}, T é injetora. Logo (08) é falsa.

Passo 6

As afirmativas verdadeiras são (01), (02) e (04). Somando seus códigos:
01 + 02 + 04 = 7.

Resposta

7

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