O que é um sistema linear homogêneo? O que você pode dizer sobre sua classificação?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) dizer o que é um sistema linear homogêneo e (2) explicar como classificá‑lo (quais casos possíveis, como identificar cada caso). Não há dados numéricos; o objetivo é conceitual e prático — quero te dar definição, propriedades, método prático para classificar e exemplos resolvidos passo a passo.

Passo 2

Definição formal e notação. Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial
A x = b,
onde A é uma matriz m\times n, x é o vetor coluna incógnita em \mathbb{R}^n e b é o vetor de termos independentes em \mathbb{R}^m. Dizemos que o sistema é homogêneo quando o vetor de termos independentes é o vetor nulo, isto é,
A x = 0.
Aqui 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^m. Resumindo: sistema homogêneo = mesmo tipo de equações lineares, mas com o lado direito igual a zero.

Passo 3

Por que sempre existe ao menos uma solução. Substitua x=0 (o vetor nulo em \mathbb{R}^n) e calcule A\cdot 0. Como multiplicação linear manda zero em zero,
A\cdot 0 = 0.
Portanto todo sistema homogêneo é sempre consistente: tem pelo menos a solução trivial x=0.

Passo 4

O conjunto de todas as soluções de A x = 0 é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Explicando por que (propriedades que caracterizam subespaço):
  • Se x e y são soluções, então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0, logo x+y também é solução.
  • Se x é solução e \lambda\in\mathbb{R}, então A(\lambda x)=\lambda (Ax)=\lambda 0=0, logo \lambda x também é solução.
    Assim, as soluções formam o núcleo (kernel) da transformação linear T(x)=A x, também chamado de espaço nulo (nullspace), denotado \mathrm{Null}(A).

Passo 5

Quais são os casos possíveis (classificação) e por quê. Seja A de tamanho m\times n e seja \operatorname{rank}(A)=r (número de colunas linearmente independentes / número de pivôs após eliminação de Gauss). Vale o Teorema da Dimensão (rank‑nullity):
\dim\big(\mathrm{Null}(A)\big)=n-r.
Interpretação imediata:
  • Se r=n então \dim(\mathrm{Null}(A))=0. Isso significa que o único vetor no núcleo é o 0: solução única, a solução trivial x=0.
  • Se r<n então \dim(\mathrm{Null}(A))=n-r\ge 1. Isso significa que existem infinitas soluções (um subespaço não trivial de dimensão n-r): há soluções não nulas e famílias parametrizadas por n-r parâmetros livres.
    Observação importante: não existe o caso “uma única solução não trivial” — ou é só a trivial ou é infinidade de soluções.

Passo 6

Como identificar rapidamente na prova (método prático): usar eliminação de Gauss / calcular o posto.
  • Faça operações elementares por linhas para obter a forma escalonada de A.
  • Conte os pivôs (linhas com primeiro coeficiente não nulo) — esse número é r=\operatorname{rank}(A).
  • Compare r com n (nº de incógnitas):
    • Se r=n → só solução x=0.
    • Se r<n → soluções infinitas com n-r graus de liberdade.
      Se A for quadrada ( m=n), dá pra usar o determinante: se \det(A)\neq 0 então r=n e só a solução trivial; se \det(A)=0 então r<n e há infinitas soluções.

Passo 7

Exemplo 1 (sistema com só solução trivial). Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}.
Calcule o determinante:
\det(A)=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\neq 0.
Logo \operatorname{rank}(A)=2=n. Pelo item anterior, \dim(\mathrm{Null}(A))=n-r=0, ou seja, a única solução de A x=0 é x=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Exemplo 2 (infinitas soluções). Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Note que a segunda linha é múltiplo da primeira, então \operatorname{rank}(A)=1. São n=2 incógnitas, logo \dim(\mathrm{Null}(A))=n-r=1. Vamos resolver:
A equação é
x_1+2x_2=0.
Escolha x_2=t (parâmetro). Então x_1=-2t. As soluções são
x=t\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R},
uma reta (subespaço unidimensional) passando pela origem. Portanto infinitas soluções não nulas.]

Passo 9

Interpretação geométrica e conexão com transformação linear. Geometricamente o conjunto de soluções é uma reta, plano ou subespaço de dimensão d=n-r que sempre passa pela origem. Em linguagem de transformações lineares, é o núcleo de T(x)=Ax. Consequência prática: T é injetiva se e somente se \mathrm{Null}(A)=\{0\}, isto é, se r=n. Isso também explica por que, quando n>m, não dá para ter injeção (pelo menos heurístico: mais incógnitas do que equações tende a produzir vetores não triviais no núcleo).

Passo 10

Resumo prático rápido para a prova (passos que você pode fazer de cabeça):
  1. Escreva a matriz A do sistema homogêneo A x=0.
  2. Faça eliminação de Gauss para achar o número de pivôs r (ou calcule \det(A) se A for quadrada).
  3. Compare r com n:
    • r=n → só solução trivial x=0.
    • r<n → infinitas soluções, com n-r parâmetros livres (dimensão do espaço das soluções).
      Termine escrevendo a forma paramétrica das soluções usando os vetores diretores (como no Exemplo 2).

Resposta

Um sistema linear homogêneo é um sistema da forma \,A x=0\, (mesmo lado direito igual a zero). Todo sistema homogêneo tem sempre a solução trivial x=0. Classificação: se \operatorname{rank}(A)=n (número de incógnitas) então a única solução é x=0; se \operatorname{rank}(A)=r<n então existem infinitas soluções e o espaço de soluções tem dimensão n-r (ou seja, n-r graus de liberdade).

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