O que é um sistema linear homogêneo? O que você pode dizer sobre sua classificação?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dizer o que é um sistema linear homogêneo e (2) explicar como classificá‑lo (quais casos possíveis, como identificar cada caso). Não há dados numéricos; o objetivo é conceitual e prático — quero te dar definição, propriedades, método prático para classificar e exemplos resolvidos passo a passo.
Passo 2
Definição formal e notação. Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial
onde
é uma matriz
,
é o vetor coluna incógnita em
e
é o vetor de termos independentes em
. Dizemos que o sistema é homogêneo quando o vetor de termos independentes é o vetor nulo, isto é,
Aqui
é o vetor nulo em
. Resumindo: sistema homogêneo = mesmo tipo de equações lineares, mas com o lado direito igual a zero.
Passo 3
Por que sempre existe ao menos uma solução. Substitua
(o vetor nulo em
) e calcule
. Como multiplicação linear manda zero em zero,
Portanto todo sistema homogêneo é sempre consistente: tem pelo menos a solução trivial
.
Passo 4
O conjunto de todas as soluções de
é um subespaço vetorial de
. Explicando por que (propriedades que caracterizam subespaço):
- Se
e são soluções, então , logo também é solução. - Se
é solução e , então , logo também é solução.
Assim, as soluções formam o núcleo (kernel) da transformação linear, também chamado de espaço nulo (nullspace), denotado .
Passo 5
Quais são os casos possíveis (classificação) e por quê. Seja
de tamanho
e seja
(número de colunas linearmente independentes / número de pivôs após eliminação de Gauss). Vale o Teorema da Dimensão (rank‑nullity):
Interpretação imediata:
- Se
então . Isso significa que o único vetor no núcleo é o : solução única, a solução trivial . - Se
então . Isso significa que existem infinitas soluções (um subespaço não trivial de dimensão ): há soluções não nulas e famílias parametrizadas por parâmetros livres.
Observação importante: não existe o caso “uma única solução não trivial” — ou é só a trivial ou é infinidade de soluções.
Passo 6
Como identificar rapidamente na prova (método prático): usar eliminação de Gauss / calcular o posto.
- Faça operações elementares por linhas para obter a forma escalonada de
. - Conte os pivôs (linhas com primeiro coeficiente não nulo) — esse número é
. - Compare
com (nº de incógnitas): - Se
→ só solução . - Se
→ soluções infinitas com graus de liberdade.
Sefor quadrada ( ), dá pra usar o determinante: se então e só a solução trivial; se então e há infinitas soluções.
- Se
Passo 7
Exemplo 1 (sistema com só solução trivial). Tome
Calcule o determinante:
Logo
. Pelo item anterior,
, ou seja, a única solução de
é
.]
Passo 8
Exemplo 2 (infinitas soluções). Tome
Note que a segunda linha é múltiplo da primeira, então
. São
incógnitas, logo
. Vamos resolver:
A equação é
A equação é
Escolha
(parâmetro). Então
. As soluções são
uma reta (subespaço unidimensional) passando pela origem. Portanto infinitas soluções não nulas.]
Passo 9
Interpretação geométrica e conexão com transformação linear. Geometricamente o conjunto de soluções é uma reta, plano ou subespaço de dimensão
que sempre passa pela origem. Em linguagem de transformações lineares, é o núcleo de
. Consequência prática:
é injetiva se e somente se
, isto é, se
. Isso também explica por que, quando
, não dá para ter injeção (pelo menos heurístico: mais incógnitas do que equações tende a produzir vetores não triviais no núcleo).
Passo 10
Resumo prático rápido para a prova (passos que você pode fazer de cabeça):
- Escreva a matriz
do sistema homogêneo . - Faça eliminação de Gauss para achar o número de pivôs
(ou calcule se for quadrada). - Compare
com : -
→ só solução trivial . -
→ infinitas soluções, com parâmetros livres (dimensão do espaço das soluções).
Termine escrevendo a forma paramétrica das soluções usando os vetores diretores (como no Exemplo 2).
-
Resposta
Um sistema linear homogêneo é um sistema da forma
(mesmo lado direito igual a zero). Todo sistema homogêneo tem sempre a solução trivial
. Classificação: se
(número de incógnitas) então a única solução é
; se
então existem infinitas soluções e o espaço de soluções tem dimensão
(ou seja,
graus de liberdade).