Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x-3 y+2 z & =1 x+y-z & =1 3 x-5 y+3 z & =3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x-3y+2z=1, x+y - z=1, 3x-5y+3z=3,
e pede: (i) as matrizes A, b e [Amid b]; (ii) escalonar [Amid b]; (iii) identificar variáveis livres e dependentes; (iv) classificar o sistema; (v) resolver quando houver solução. O conteúdo usado será eliminação de Gauss e análise de pivôs para identificar variáveis livres/dependentes.

Passo 2

(i) A matriz dos coeficientes é

Passo 3

(ii) Aplicamos eliminação de Gauss em :
Começando com
fazemos e , obtendo
Em seguida

Passo 4

(iii) Na forma escalonada há pivôs na coluna 1 (variável x) e na coluna 2 (variável y). A coluna 3 (variável z) não tem pivô, logo z é livre. As variáveis dependentes são x e y.

Passo 5

(iv) Como não apareceu linha impossível (por exemplo [0;0;0mid c] com cneq0), o sistema é compatível. Há menos pivôs do que variáveis ( 2<3), logo é compatível indeterminado, isto é, infinitas soluções.

Passo 6

(v) Para parametrizar, seja z = t. Da segunda equação escalonada 4y -3z=0 vem
y = 34z = 34t
Substituindo em x-3y+2z=1 obtemos
x = 1 +3y -2z = 1 + 3cdot34t -2t = 1 + 94t - 84t = 1 + 14t
Logo a solução geral é
(x,y,z) = l(1 + tfrac14t,;tfrac34t,;tr), tinR

Resposta

A solução geral é
boxed(x,y,z) = l(1 + tfrac14t,;tfrac34t,;tr), tinR
O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções), com variável livre z e variáveis dependentes x,y.

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