Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
(e) Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais com adição usual em V e multiplicação em V definida por, lambda(a, b)=(lambda a, 0).

Passo 1

O enunciado define V=(a,b)mid a,binR com a adição usual em R^2 e a multiplicação escalar dada por
lambda,(a,b) = (lambda a,,0)
Queremos decidir se (V,+,cdot) é um espaço vetorial, ou seja, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos primeiro que (V,+) é um grupo abeliano com a adição componente a componente. De fato:
  • Fechamento: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)in V.
  • Associatividade e comutatividade decorrem da adição em R.
  • Elemento neutro é (0,0), pois (a,b)+(0,0)=(a,b).
  • Inverso de (a,b) é (-a,-b), pois (a,b)+(-a,-b)=(0,0).

Passo 3

Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar. Dois deles valem sem problemas:
lambda(u+v)=lambda u+lambda v e (lambda+mu)u=lambda u+mu u, pois
lambdal((a,b)+(c,d)r) =(lambda(a+c),0) =(lambda a+lambda c,0) =(lambda a,0)+(lambda c,0),
(lambda+mu)(a,b)=((lambda+mu)a,0)=(lambda a+mu a,0)=(lambda a,0)+(mu a,0)
Também (lambdamu)(a,b)=(lambdamu a,0)=lambda(mu a,0)=lambdal(mu(a,b)r) e 0,(a,b)=(0cdot a,0)=(0,0) é o vetor nulo.
Porém o axioma que exige o escalar 1 atuar como identidade falha:
1,(a,b)=(1cdot a,0)=(a,0)neq(a,b) quando bneq0

Resposta

O conjunto V com essas operações não é um espaço vetorial, pois não vale 1cdot v=v para vetores cuja segunda coordenada é não nula.

Exercícios relacionados