Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
(e) Seja
o conjunto dos pares ordenados
de números reais com adição usual em
e multiplicação em
definida por,
.
(e) Seja
Passo 1
O enunciado define
com a adição usual em
e a multiplicação escalar dada por
Queremos decidir se
é um espaço vetorial, ou seja, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos primeiro que
é um grupo abeliano com a adição componente a componente. De fato:
- Fechamento:
. - Associatividade e comutatividade decorrem da adição em
. - Elemento neutro é
, pois . - Inverso de
é , pois .
Passo 3
Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar. Dois deles valem sem problemas:
e
, pois
Também
e
é o vetor nulo.
Porém o axioma que exige o escalar atuar como identidade falha:
Porém o axioma que exige o escalar
Resposta
O conjunto
com essas operações não é um espaço vetorial, pois não vale
para vetores cuja segunda coordenada é não nula.