Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
(f)
conjunto
, com a operação usual de multiplicação por escalar, mas adição definida por:
(f)
Passo 1
O enunciado define no conjunto
a adição
e a multiplicação por escalar usual
.
Para verificar se isso forma um espaço vetorial, precisamos checar (1) as propriedades de soma (fechadura, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo) e (2) as leis de multiplicação por escalar (compatibilidade, identidade escalar e as duas distributividades).
Para verificar se isso forma um espaço vetorial, precisamos checar (1) as propriedades de soma (fechadura, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo) e (2) as leis de multiplicação por escalar (compatibilidade, identidade escalar e as duas distributividades).
Passo 2
Verificamos primeiro as propriedades da adição:
- Fechadura e comutatividade são óbvias, pois
. - Associatividade:
e - Elemento neutro
satisfaz , isto é Logo . - Inverso de
é tal que
Portanto, todas as propriedades de adição estão satisfeitas.
Passo 3
Agora as leis envolvendo multiplicação por escalar:
- Compatibilidade
é válida pois
. - Identidade escalar
também vale, pois
.
Passo 4
Sobram as duas distribuições. Vejamos
enquanto
Para serem iguais precisaríamos
para todo
, o que é impossível. Logo a lei
falha.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial, pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma falha.