Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
(f) O conjunto R^2, com a operação usual de multiplicação por escalar, mas adição definida por:
v+u=(x, y)+(t, w)=(x+t+1, y+w+1)

Passo 1

O enunciado define no conjunto R^2 a adição
(x,y)+(t,w) = (x+t+1,;y+w+1)
e a multiplicação por escalar usual alphacdot(x,y) = (alpha x,;alpha y).
Para verificar se isso forma um espaço vetorial, precisamos checar (1) as propriedades de soma (fechadura, comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo) e (2) as leis de multiplicação por escalar (compatibilidade, identidade escalar e as duas distributividades).

Passo 2

Verificamos primeiro as propriedades da adição:
  • Fechadura e comutatividade são óbvias, pois x+t+1 = t+x+1.
  • Associatividade: l((x,y)+(t,w)r)+(u,v) = (x+t+1,;y+w+1)+(u,v) = (x+t+u+2,;y+w+v+2) e (x,y)+l((t,w)+(u,v)r) = (x,y)+(t+u+1,;w+v+1) = (x+t+u+2,;y+w+v+2)
  • Elemento neutro e=(a,b) satisfaz (x,y)+e=(x,y), isto é (x+a+1,;y+b+1)=(x,y) Longrightarrow a=b=-1 Logo e=(-1,-1).
  • Inverso de (x,y) é (x',y') tal que (x,y)+(x',y')=(-1,-1) Longrightarrow x+x'+1=-1,;y+y'+1=-1 Longrightarrow x'=-x-2,;y'=-y-2
Portanto, todas as propriedades de adição estão satisfeitas.

Passo 3

Agora as leis envolvendo multiplicação por escalar:
  • Compatibilidade (alphabeta)(x,y) = alphal(beta(x,y)r) é válida pois
    (alphabeta)(x,y) = ((alphabeta)x,(alphabeta)y).
  • Identidade escalar 1cdot(x,y)=(x,y) também vale, pois
    1cdot(x,y) = (1cdot x,1cdot y) = (x,y).

Passo 4

Sobram as duas distribuições. Vejamos
alphal((x,y)+(t,w)r) = alpha(x+t+1,;y+w+1) = (alpha(x+t+1),;alpha(y+w+1)) =(alpha x+alpha t+alpha,;alpha y+alpha w+alpha),
enquanto
alpha(x,y)+alpha(t,w) = (alpha x,alpha y)+(alpha t,alpha w) = (alpha x+alpha t+1,;alpha y+alpha w+1)
Para serem iguais precisaríamos alpha=!1 para todo alpha, o que é impossível. Logo a lei
alpha(v+u)=alpha v+alpha u falha.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma falha.

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