Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x+2 y & =2 3 x-y & =6 4 x+y & =3

Passo 1

Temos o sistema de três equações lineares em duas incógnitas
x+2y=2, 3x-y=6, 4x+y=3
O conteúdo é montagem de matriz de coeficientes, vetor de termos independentes e matriz aumentada, escalonamento, análise de variáveis livres/dependentes, classificação do sistema e resolução.

Passo 2

(i) Matriz de coeficientes A, vetor b e matriz aumentada [Amidb]:
A = 1 & 2 3 & -1 4 & 1 , b = 2 6 3 , [Amidb] = (cc|c 1 & 2 & 2 3 & -1 & 6 4 & 1 & 3 )

Passo 3

(ii) Escalonamos [Amidb]:
(cc|c 1 & 2 & 2 3 & -1 & 6 4 & 1 & 3 ) xrightarrow[R3>=ts R3-4R1]R2>=ts R2-3R1 (cc|c 1 & 2 & 2 0 & -7 & 0 0 & -7 & -5 ) xrightarrowR3>=ts R3-R2 (cc|c 1 & 2 & 2 0 & -7 & 0 0 & 0 & -5 )

Passo 4

(iii)/(iv) Na última linha aparece
0cdot x + 0cdot y = -5,
que é impossível. Assim:
  • rank(A)=2, rank([Amidb])=3 (ampliado maior que A),
  • não há variáveis livres (nem dependentes úteis, pois o sistema é inconsistente),
  • o sistema é incompatível (inconsistente).

Passo 5

(v) Como o sistema é incompatível, não existe solução.

Resposta

(i) A=1&23&-14&1,
b=263,
[Amidb]=(cc|c1&2&23&-1&64&1&3)
(ii) Escalonada final: (cc|c1&2&20&-7&00&0&-5)
(iii) Sem variáveis livres ou dependentes (inconsistência).
(iv) Sistema incompatível.
(v) Não há solução.

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