Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x+y+z-w & =2 2 x-y-z-w & =-1 x-2 y-2 z & =-3 3 x-3 y-3 z-w & =-4

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+y+z-w = 2, 2x - y - z - w = -1, x - 2y - 2z = -3, 3x - 3y - 3z - w = -4,
que é um sistema linear em quatro incógnitas (x,y,z,w). Vamos montar a matriz dos coeficientes A, o vetor termos-independentes b e a matriz aumentada [Amid b], depois escalonar [Amid b], identificar variáveis livres e dependentes, classificar e, finalmente, escrever a solução.

Passo 2

As matrizes pedidas são
(i)
A = 1 & 1 & 1 & -1 2 & -1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 & 0 3 & -3 & -3 & -1 , b = 2 -1 -3 -4,
e
[Amid b] = 1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 2 & -1 & -1 & -1 & mid & -1 1 & -2 & -2 & 0 & mid & -3 3 & -3 & -3 & -1 & mid & -4

Passo 3

Escalonando [Amid b] em forma triangular (usando como pivô o elemento 1 em posição (1,1) e depois -3 em (2,2)) obtemos
1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 0 & -3 & -3 & 1 & mid & -5 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0
Ou seja, só restaram duas linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1 e 2.

Passo 4

As colunas-pivô são as colunas 1 e 2 (correspondentes a x e y), logo x e y são variáveis dependentes. As colunas sem pivô ( 3 e 4, correspondentes a z e w) geram as variáveis livres.

Passo 5

O posto da matriz dos coeficientes é 2, menor que o número de incógnitas ( 4), logo o sistema é compatível indeterminado (há infinitas soluções).

Passo 6

Das duas equações não nulas obtemos
-3y -3z + w = -5, x + y + z - w = 2
Escolhendo z = s e w = t como parâmetros livres, temos
y = 5 - 3z + w3 = 5 - 3s + t3,
x = 2 - y - z + w = 2 - 5 - 3s + t3 - s + t = 1 + 2t3
Assim a solução geral é
(x,y,z,w) = l(tfrac1+2t3,,tfrac5-3s+t3,,s,,tr), s,tin R

Resposta

(i)
A = 1 & 1 & 1 & -1 2 & -1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 & 0 3 & -3 & -3 & -1 , b = 2 -1 -3 -4, [ A mid b ] = 1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 2 & -1 & -1 & -1 & mid & -1 1 & -2 & -2 & 0 & mid & -3 3 & -3 & -3 & -1 & mid & -4
(ii)
Forma escalonada: 1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 0 & -3 & -3 & 1 & mid & -5 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0
(iii) Variáveis dependentes: x,y. Variáveis livres: z,w.
(iv) Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
(v) Solução geral:
(x,y,z,w) = l(tfrac1+2t3,,tfrac5-3s+t3,,s,,tr), s,tinR

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