Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x+y+z-w = 2, 2x - y - z - w = -1, x - 2y - 2z = -3, 3x - 3y - 3z - w = -4,
que é um sistema linear em quatro incógnitas (x,y,z,w). Vamos montar a matriz dos coeficientes A, o vetor termos-independentes b e a matriz aumentada [Amid b], depois escalonar [Amid b], identificar variáveis livres e dependentes, classificar e, finalmente, escrever a solução.
Ou seja, só restaram duas linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1 e 2.
Passo 4
As colunas-pivô são as colunas 1 e 2 (correspondentes a x e y), logo x e y são variáveis dependentes. As colunas sem pivô (3 e 4, correspondentes a z e w) geram as variáveis livres.
Passo 5
O posto da matriz dos coeficientes é 2, menor que o número de incógnitas (4), logo o sistema é compatível indeterminado (há infinitas soluções).
Passo 6
Das duas equações não nulas obtemos
-3y -3z + w = -5, x + y + z - w = 2
Escolhendo z = s e w = t como parâmetros livres, temos
y = 5 - 3z + w3 = 5 - 3s + t3,
x = 2 - y - z + w = 2 - 5 - 3s + t3 - s + t = 1 + 2t3
Assim a solução geral é
(x,y,z,w) = l(tfrac1+2t3,,tfrac5-3s+t3,,s,,tr), s,tin R