Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
r2 x-y+3 z-w=2 x-3 y-2 z+2 w=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x - y + 3z - w = 2, x -3y -2z +2w =4,
usando eliminação de Gauss: (i) extrair as matrizes A, b e [Amid b], (ii) escalonar [Amid b], (iii) identificar variáveis livres e dependentes, (iv) classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou impossível) e (v) escrever a solução geral quando existir. O conteúdo aplicado será eliminação de Gauss, posto da matriz e solução paramétrica.

Passo 2

(i) Montamos primeiro
A = 2 & -1 & 3 & -1 1 & -3 & -2 & 2 , b = 24,
e a matriz ampliada
[Amid b] = 2 & -1 & 3 & -1 & 2 1 & -3 & -2 & 2 & 4

Passo 3

(ii) Vamos escalonar [Amid b] passo a passo:
[Amid b] = 2 & -1 & 3 & -1 & 2 1 & -3 & -2 & 2 & 4
Trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô 1:
1 & -3 & -2 & 2 & 4 2 & -1 & 3 & -1 & 2
Eliminamos embaixo de 1 com R2 R2 - 2R1:
1 & -3 & -2 & 2 & 4 0 & 5 & 7 & -5 & -6
Dividimos R2 por 5 e zeramos acima de 1 em R2:
1 & 0 & tfrac115 & -1 & tfrac25 0 & 1 & tfrac75 & -1 & -tfrac65
Esse é o posto reduzido da matriz ampliada.

Passo 4

(iii) Da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1 e 2. Portanto:
– Variáveis dependentes (básicas): x e y.
– Variáveis livres: z e w.
(iv) Como não apareceu linha [0;dots;0mid c] com cneq0, o sistema é consistente. O posto é 2 e o número de incógnitas é 4, logo há infinitas soluções.

Passo 5

(v) Das equações finais temos
x + tfrac115,z - w = tfrac25, y + tfrac75,z - w = -tfrac65
Tomando parâmetros
z = t,;w = s, obtemos
x = tfrac25 - tfrac115,t + s, y = -tfrac65 - tfrac75,t + s

Resposta

O sistema é consistente e indeterminado (infinitas soluções).
A solução geral é
(x,y,z,w) = l(tfrac25,-tfrac65,0,0r) + t,l(-tfrac115,-tfrac75,1,0r) + s,(1,1,0,1),
com t,sin R.

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