Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
x+y+z & =4 2 x+5 y-2 z & =3 x+7 y-7 z & =5

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
O conteúdo é eliminação de Gauss (escalonamento), classificação de sistemas e identificação de variáveis livres/dependentes.

Passo 2

(i) As matrizes são
A = 1 & 1 & 1 2 & 5 & -2 1 & 7 & -7 , b = 435,
e a matriz aumentada é
[A mid b] = 1 & 1 & 1 & 4 2 & 5 & -2 & 3 1 & 7 & -7 & 5

Passo 3

(ii) Escalonamos [Amidb] por eliminação de Gauss:
1 & 1 & 1 & 4 2 & 5 & -2 & 3 1 & 7 & -7 & 5 longrightarrow 1 & 1 & 1 & 4 0 & 3 & -4 & -5 0 & 6 & -8 & 1
longrightarrow 1 & 1 & 1 & 4 0 & 3 & -4 & -5 0 & 0 & 0 & 11

Passo 4

(iii) A terceira linha diz 0x+0y+0z=11, ou seja 0=11, uma contradição. Isso significa que não há atribuição de (x,y,z) que satisfaça todas as equações. Logo não existem variáveis livres nem dependentes num sistema sem solução.

Passo 5

(iv) Como apareceu uma linha contraditória, o sistema é incompatível.

Passo 6

(v) Por ser incompatível, não há solução.

Resposta

(i) A=1&1&12&5&-21&7&-7, b=(4,3,5)^T,
[Amidb]=1&1&1&42&5&-2&31&7&-7&5.
(ii) Forma escalonada:
1&1&1&40&3&-4&-50&0&0&11.
(iii) Não há variáveis livres nem dependentes (inconsistência).
(iv) Sistema incompatível.
(v) Não existe solução.

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