Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
rx-2 y+3 z=0 2 x+5 y+6 z=0

Passo 1

O enunciado nos d’a o sistema homog^eneo em tr^es vari’aveis
x - 2y + 3z = 0, 2x + 5y + 6z = 0,
e pede: (i) as matrizes A, b e [Amidb]; (ii) o escalonamento de [Amidb] por elimina\c{c}~ao de Gauss; (iii) vari’aveis livres e dependentes; (iv) classifica\c{c}~ao do sistema; (v) solu\c{c}~ao quando existir.

Passo 2

Vamos escrever
A = 1 & -2 & 3 2 & 5 & 6 , b = 00, [Amid b] = 1 & -2 & 3 & 0 2 & 5 & 6 & 0

Passo 3

Aplicamos operações de linha para escalonar [Amid b]:
1 & -2 & 3 & 0 2 & 5 & 6 & 0 longrightarrow 1 & -2 & 3 & 0 0 & 9 & 0 & 0 9L2longrightarrow 1 & -2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 longrightarrow 1 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0

Passo 4

Na forma final temos pivôs nas colunas 1 e 2, logo as variáveis x e y são dependentes e z é livre. Como o posto de A é 2 (duas linhas não-nulas) e o número de incógnitas é 3, o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 5

Para resolver, atribuimos parâmetro z = t. Da primeira linha escalonada obtemos
x + 3z = 0 Longrightarrow x = -3t,
da segunda
y = 0
Logo a solução geral é
(x,y,z) = l(-3t,,0,,tr), tin R

Resposta

(i)
A = 1 & -2 & 3 2 & 5 & 6 , b = 00, [Amid b] = 1 & -2 & 3 & 0 2 & 5 & 6 & 0
(ii) Forma escalonada:
1 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0
(iii) Variável livre: z. Variáveis dependentes: x,y.
(iv) Sistema compatível indeterminado.
(v) Solução geral:
(x,y,z) = (-3t,,0,,t), tin R

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