Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase. .
Passo 1
Temos o sistema linear homogêneo
dotx(t)=A,x(t), A = 1 & -1[6pt]1 & 3,
e queremos (i) encontrar a solução geral, (ii) classificar o ponto de equilíbrio na origem e (iii) esboçar qualitativamente o retrato de fase. Para isso usamos o método de autovalores e autovetores, incluindo cadeia de Jordan se necessário.]
Como o único autovalor lambda=2 é real, positivo e de multiplicidade algébrica 2 mas possui apenas um autovetor, o ponto de equilíbrio na origem é um nó degenerado instável (ou nó impróprio instável). Todas as soluções que não estão na direção do autovetor divergem exponencialmente.
Passo 7
O retrato de fase tem as seguintes características:
A reta eigenvectorial (x,-x) é uma direção invariant e instável (as soluções sobre ela crescem como e^2t).
As demais trajetórias saem do ponto de equilíbrio curvando-se de modo que, ao retroceder no tempo (tto-infty), tornam-se cada vez mais tangentes à reta x2=-x1.
Para tto+infty todas as soluções divergem, afastando-se do eixo eigenvectorial, característico de um nó degenerado instável.
o ponto de equilíbrio é um nó degenerado instável e o retrato de fase mostra todas as trajetórias saindo do ponto de equilíbrio, com comportamento exponencial e tangentes à direção ,(1,-1),.]