Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase.
dotx(t)=[ll+1 & -1 +1 & +3] x(t).

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo
dotx(t)=A,x(t), A = 1 & -1[6pt]1 & 3,
e queremos (i) encontrar a solução geral, (ii) classificar o ponto de equilíbrio na origem e (iii) esboçar qualitativamente o retrato de fase. Para isso usamos o método de autovalores e autovetores, incluindo cadeia de Jordan se necessário.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & -1[4pt]1 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)-(-1)cdot1 =lambda^2-4lambda+4
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lambda^2-4lambda+4=0 Longrightarrow lambda=2 (raiz dupla) ]

Passo 3

Para lambda=2 achamos os autovetores resolvendo
(A-2I)v=0 Longrightarrow -1 & -1[4pt]1 & 1 v1[2pt]v2 =0
Isso dá -v1-v2=0, isto é v2=-v1. Tomamos
v=1[2pt]-1
como autovetor associado a lambda=2.]

Passo 4

Como há apenas um autovetor, precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A-2I)w=v
Escrevendo w=(w1,w2)^T e usando (A-2I), temos
-1 & -1[4pt]1 & 1 w1[2pt]w2 =1[2pt]-1,
que reduz a -w1-w2=1. Uma escolha conveniente é w2=0, w1=-1, ou seja
w=-1[2pt]0 ]

Passo 5

Na forma de Jordan, a solução geral é
x(t) = C1,e^2t,v + C2l(t,e^2t,v+e^2t,wr)
Escrevendo componentes,
x(t) =e^2tl[ C11[2pt]-1 +C2l(t1[2pt]-1 +-1[2pt]0r) r]
Isso dá explicitamente
x1(t)=e^2tl(C1 +C2,t - C2r), x2(t)=e^2tl(-C1 -C2,tr) ]

Passo 6

Como o único autovalor lambda=2 é real, positivo e de multiplicidade algébrica 2 mas possui apenas um autovetor, o ponto de equilíbrio na origem é um nó degenerado instável (ou nó impróprio instável). Todas as soluções que não estão na direção do autovetor divergem exponencialmente.

Passo 7

O retrato de fase tem as seguintes características:
  • A reta eigenvectorial (x,-x) é uma direção invariant e instável (as soluções sobre ela crescem como e^2t).
  • As demais trajetórias saem do ponto de equilíbrio curvando-se de modo que, ao retroceder no tempo ( tto-infty), tornam-se cada vez mais tangentes à reta x2=-x1.
  • Para tto+infty todas as soluções divergem, afastando-se do eixo eigenvectorial, característico de um nó degenerado instável.

Resposta

A solução geral é
x(t) =e^2tl[ C11[2pt]-1 +C2l(t1[2pt]-1 +-1[2pt]0r) r],
o ponto de equilíbrio é um nó degenerado instável e o retrato de fase mostra todas as trajetórias saindo do ponto de equilíbrio, com comportamento exponencial e tangentes à direção ,(1,-1),.]

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