Para cada um dos sistemas, verifique se as funções dadas são soluções e se formam um conjunto fundamental de soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se duas funções dadas são soluções de um sistema de equações diferenciais lineares e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Isso envolve entender um pouco sobre sistemas lineares, soluções de equações diferenciais e independência linear. Para resolver, vamos precisar substituir as funções no sistema para ver se são soluções e depois verificar se elas são independentes, garantindo que formam um conjunto fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ x^{(1)}(t) =
e^{t} $ é uma solução do sistema $ x’ =
x $.
Calculando a derivada de $ x^{(1)}(t) $:
Agora, multiplicamos a matriz pelo vetor $ x^{(1)}(t) $:
Como $ x^{(1)}{}’(t) =
e^{t} $ é igual ao resultado da multiplicação, a função $ x^{(1)}(t) $ é realmente uma solução do sistema.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função $ x^{(2)}(t) =
e^{-t} $ também é uma solução do sistema.
Calculando a derivada de $ x^{(2)}(t) $:
Multiplicando a matriz pelo vetor $ x^{(2)}(t) $:
Como $ x^{(2)}{}’(t) =
e^{-t} $ é igual ao resultado da multiplicação, a função $ x^{(2)}(t) $ também é uma solução do sistema.
Passo 4
Agora que temos duas soluções, vamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos ver se as duas funções são linearmente independentes. Podemos fazer isso calculando o determinante da matriz formada pelas soluções.
Construindo a matriz com $ x^{(1)}(t) $ e $ x^{(2)}(t) $:
Calculando o determinante:
Como o determinante $ \det(W) = 2 $ é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes.
Resposta
Sim, ambas as funções $ x^{(1)}(t) $ e $ x^{(2)}(t) $ são soluções do sistema dado e formam um conjunto fundamental de soluções.