Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
A série em análise é
. O conteúdo é convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o teste de comparação com uma série p conhecida e estudar o comportamento assintótico do termo geral.
Passo 2
Percebemos que em
o termo
fica indefinido, mas mexer num ou dois termos iniciais não altera a convergência. Assim, a partir de
o termo geral é bem definido e basta estudar
para
.
Passo 3
Para aplicar o teste de comparação precisamos de uma série-p de referência. Note que para
grande temos
Passo 4
Definimos
e fazemos o teste da razão assintótica (teste da comparação por limite):
Passo 5
Como esse limite é um número finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Mas sabe-se que
é uma série-p com
, logo ela diverge.
Passo 6
Portanto, pelo teste de comparação por limite, a série original também diverge.
Resposta
A série é divergente.