Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty raiznn-1

Passo 1

A série em análise é sumn=1^infty raiznn-1. O conteúdo é convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o teste de comparação com uma série p conhecida e estudar o comportamento assintótico do termo geral.

Passo 2

Percebemos que em n=1 o termo raiznn-1 fica indefinido, mas mexer num ou dois termos iniciais não altera a convergência. Assim, a partir de n=2 o termo geral é bem definido e basta estudar an = raiznn-1 para n>=2.

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação precisamos de uma série-p de referência. Note que para n grande temos
raiznn-1sim raiznn=n^-1/2

Passo 4

Definimos bn = n^-1/2 e fazemos o teste da razão assintótica (teste da comparação por limite):
limntoinfty anbn = limntoinfty raiznn-1n^-1/2 = limntoinfty nn-1 = 1

Passo 5

Como esse limite é um número finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Mas sabe-se que sum n^-1/2 é uma série-p com p=1/2<=1, logo ela diverge.

Passo 6

Portanto, pelo teste de comparação por limite, a série original também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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