Considere o sistema forçado sem amortecimento
.
O que acontece quando
?
O que acontece quando
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve um sistema forçado sem amortecimento:
com as condições iniciais
e
. O objetivo é descobrir o que acontece quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, sistemas oscilatórios e ressonância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O termo
representa a aceleração,
é a posição, e o lado direito
é a força externa que está forçando o sistema a oscilar.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Substituindo
na equação original, teremos:
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes dos termos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Resolvendo essas equações:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Para
:
Para
, primeiro derivamos
:
Aplicando
:
Passo 9
Portanto, a solução completa é:
Passo 10
Agora, vamos analisar o que acontece quando
:
Substituindo
na solução, o denominador
, o que causa uma divisão por zero. Isso indica que a solução que encontramos inicialmente não é válida para
. Na verdade, quando
, o sistema está em ressonância.
Passo 11
Em casos de ressonância (
igual à frequência natural do sistema), a amplitude das oscilações aumenta indefinidamente com o tempo. Isso ocorre porque a força externa está na mesma frequência que o sistema, causando um aumento contínuo na energia do sistema.
Resposta
Quando
, o sistema entra em ressonância, fazendo com que a amplitude das oscilações aumente indefinidamente ao longo do tempo.