Considere o sistema forçado sem amortecimento
u +u=3 cos w t, u(0)=0, u^prime(0)=0.
O que acontece quando w=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve um sistema forçado sem amortecimento:
u'' + u = 3 cos(w t),
com as condições iniciais u(0) = 0 e u'(0) = 0. O objetivo é descobrir o que acontece quando w = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, sistemas oscilatórios e ressonância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
u'' + u = 3 cos(w t)
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O termo u'' representa a aceleração, u é a posição, e o lado direito 3 cos(w t) é a força externa que está forçando o sistema a oscilar.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
u'' + u = 0
A solução geral dessa equação homogênea é:
uh(t) = A cos(t) + B sin(t),
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é 3 cos(w t), vamos supor uma solução particular da forma:
up(t) = C cos(w t) + D sin(w t)
Substituindo up(t) na equação original, teremos:
-C w^2 cos(w t) - D w^2 sin(w t) + C cos(w t) + D sin(w t) = 3 cos(w t)

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes dos termos cos(w t) e sin(w t):
Para cos(w t):
-C w^2 + C = 3
Para sin(w t):
-D w^2 + D = 0

Passo 6

Resolvendo essas equações:
Para cos(w t):
C(1 - w^2) = 3 Rightarrow C = 31 - w^2
Para sin(w t):
D(1 - w^2) = 0 Rightarrow D = 0
Então, a solução particular é:
up(t) = 31 - w^2 cos(w t)

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
u(t) = A cos(t) + B sin(t) + 31 - w^2 cos(w t)

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar A e B:
Para t = 0:
u(0) = A + 31 - w^2 = 0 Rightarrow A = -31 - w^2
Para u'(0), primeiro derivamos u(t):
u'(t) = -A sin(t) + B cos(t) - 3 w1 - w^2 sin(w t)
Aplicando t = 0:
u'(0) = B = 0

Passo 9

Portanto, a solução completa é:
u(t) = -31 - w^2 cos(t) + 31 - w^2 cos(w t)

Passo 10

Agora, vamos analisar o que acontece quando w = 1:
Substituindo w = 1 na solução, o denominador 1 - w^2 = 0, o que causa uma divisão por zero. Isso indica que a solução que encontramos inicialmente não é válida para w = 1. Na verdade, quando w = 1, o sistema está em ressonância.

Passo 11

Em casos de ressonância ( w igual à frequência natural do sistema), a amplitude das oscilações aumenta indefinidamente com o tempo. Isso ocorre porque a força externa está na mesma frequência que o sistema, causando um aumento contínuo na energia do sistema.

Resposta

Quando w = 1, o sistema entra em ressonância, fazendo com que a amplitude das oscilações aumente indefinidamente ao longo do tempo.

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