Use o item (a) para achar uma série de potências para
g(x)=1(1+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências de
g(x)=1(1+x)^3
ou seja, queremos uma expansão
g(x)=sumn=0^inftyanx^n
válida em |x|<1. Vamos usar o binômio de Newton generalizado.

Passo 2

Recordando a fórmula do binômio generalizado para k>0, temos para |u|<1:
(1 - u)^-k ;=;sumn=0^inftybinomn+k-1k-1u^n
No nosso caso k=3, então
(1 - u)^-3 = sumn=0^inftybinomn+22u^n

Passo 3

Reescrevemos g(x) de modo a usar essa fórmula, notando que
g(x)=(1+x)^-3=(1 - (-x))^-3
Aqui basta fazer u=-x.

Passo 4

Substituindo u=-x na série do passo anterior, obtemos
g(x)=sumn=0^inftybinomn+22(-x)^n =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+22x^n,
válido para |x|<1. Para ver os primeiros termos, note que binom22=1, binom32=3, binom42=6,···:
g(x)=1 - 3x + 6x^2 - 10x^3 + 15x^4 - cdots

Resposta

1(1+x)^3 =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+22,x^n, |x|<1

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