Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Resumimos: temos a série de potências centrada em
Como , o termo é indefinido; logo, a série efetivamente começa em . O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência, usando o teste da raiz n-ésima e depois analisando os extremos .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz n-ésima:
Condição de convergência:
b,|x-a|<1 Longrightarrow |x-a|<1b
Logo o raio de convergência é
R=1b
Passo 3
No extremo x=a+tfrac1b temos (x-a)^n=(tfrac1b)^n, então a série vira
sumn=2^inftyb^nln nl(tfrac1br)^n =sumn=2^infty1ln n
Como 1ln n não tende a zero rápido o suficiente (por exemplo, pelo teste de condensação de Cauchy), essa série diverge.
Passo 4
No extremo x=a-tfrac1b temos (x-a)^n=(-tfrac1b)^n, então a série fica
sumn=2^inftyb^nln nl(-tfrac1br)^n =sumn=2^infty(-1)^nln n
Como tfrac1ln n é decrescente para n>=2 e tende a zero, pelo teste de Leibniz essa série converge (convergência condicional).
Resposta
R=1b
O intervalo de convergência é l[a-tfrac1b,,a+tfrac1br), com convergência condicional em x=a-tfrac1b e divergência em x=a+tfrac1b.