Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty b^nln n(x-a)^n, b>0

Passo 1

Resumimos: temos a série de potências centrada em a
sumn=1^inftyb^nln n,(x-a)^n, b>0
Como ln1=0, o termo n=1 é indefinido; logo, a série efetivamente começa em n=2. O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência, usando o teste da raiz n-ésima e depois analisando os extremos x=apm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz n-ésima:
limntoinftyraiz[n]gl|b^nln n(x-a)^ngr| =limntoinftyb,|x-a|;(ln n)^-1/n =b,|x-a|
Condição de convergência:
b,|x-a|<1 Longrightarrow |x-a|<1b
Logo o raio de convergência é
R=1b

Passo 3

No extremo x=a+tfrac1b temos (x-a)^n=(tfrac1b)^n, então a série vira
sumn=2^inftyb^nln nl(tfrac1br)^n =sumn=2^infty1ln n
Como 1ln n não tende a zero rápido o suficiente (por exemplo, pelo teste de condensação de Cauchy), essa série diverge.

Passo 4

No extremo x=a-tfrac1b temos (x-a)^n=(-tfrac1b)^n, então a série fica
sumn=2^inftyb^nln nl(-tfrac1br)^n =sumn=2^infty(-1)^nln n
Como tfrac1ln n é decrescente para n>=2 e tende a zero, pelo teste de Leibniz essa série converge (convergência condicional).

Resposta

R=1b
O intervalo de convergência é l[a-tfrac1b,,a+tfrac1br), com convergência condicional em x=a-tfrac1b e divergência em x=a+tfrac1b.

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