Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, decida se
é um subespaço vetorial:
(b) O conjunto
formado pelos pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero, isto é,
.
(b) O conjunto
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos em
, o espaço dos polinômios de grau
com coeficientes reais. O subconjunto
consiste em
tais que
O objetivo é verificar se
é subespaço vetorial, ou seja, se contém o vetor zero (polinômio nulo), é fechado sob soma e produto por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio nulo pertence a
. No polinômio nulo todos os coeficientes são zero, isto é,
logo o polinômio nulo satisfaz a condição e pertence a
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob soma. Sejam
em
. Então
O polinômio soma é
A soma dos coeficientes desse polinômio é
portanto
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob produto por escalar. Seja
e
Então
A soma dos coeficientes é
logo
.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial. Portanto,
é um subespaço de
.