Para cada subconjunto W do espaço vetorial indicado abaixo, decida se W é um subespaço vetorial:
(b) O conjunto W subset P3 formado pelos pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero, isto é, W=a0+a1 X+a2 X^2+a3 X^3: a0+a1+a2+a3=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em P3, o espaço dos polinômios de grau <=3 com coeficientes reais. O subconjunto W consiste em
a0 + a1 X + a2 X^2 + a3 X^3
tais que
a0 + a1 + a2 + a3 = 0
O objetivo é verificar se W é subespaço vetorial, ou seja, se contém o vetor zero (polinômio nulo), é fechado sob soma e produto por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio nulo pertence a W. No polinômio nulo todos os coeficientes são zero, isto é,
0 + 0 + 0 + 0 = 0,
logo o polinômio nulo satisfaz a condição e pertence a W.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma. Sejam
p(X)=a0 + a1X + a2X^2 + a3X^3 e q(X)=b0 + b1X + b2X^2 + b3X^3
em W. Então
a0 + a1 + a2 + a3 = 0 e b0 + b1 + b2 + b3 = 0
O polinômio soma é
p(X)+q(X)=(a0+b0)+(a1+b1)X+(a2+b2)X^2+(a3+b3)X^3
A soma dos coeficientes desse polinômio é
(a0+b0)+(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3) =(a0+a1+a2+a3)+(b0+b1+b2+b3)=0+0=0,
portanto p(X)+q(X)inW.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob produto por escalar. Seja lambdainR e
p(X)=a0 + a1X + a2X^2 + a3X^3inW
Então
lambda p(X)=lambda a0+lambda a1X+lambda a2X^2+lambda a3X^3
A soma dos coeficientes é
lambda a0 + lambda a1 + lambda a2 + lambda a3 =lambda,(a0+a1+a2+a3)=lambdacdot0=0,
logo lambda p(X)inW.

Passo 5

Concluímos que W satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial. Portanto, W é um subespaço de P3.

Resposta

W é um subespaço vetorial de P3.

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