Deduza a equação paramétrica da interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=1

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano x + y + z = 1. O cilindro é independente de z, então sua seção no plano xy é a circunferência de raio 1. A ideia é primeiro parametrizar essa circunferência e depois ajustar a coordenada z usando a equação do plano.

Passo 2

Para parametrizar a circunferência no plano xy, escolhemos um parâmetro tin[0,2pi) e definimos
(x(t),,y(t)) = (cos t,,sin t)
pois cos^2 t + sin^2 t = 1.

Passo 3

Agora usamos a equação do plano ,x + y + z = 1. Substituindo x(t)=cos t e y(t)=sin t, obtemos
z(t) = 1 - cos t - sin t
Logo, em R^3 a curva de interseção é
r(t) = l(cos t,;sin t,;1 - cos t - sin tr)
para tin[0,2pi).

Resposta

r(t) = (cos t,;sin t,;1 - cos t - sin t)
para tin[0,2pi).

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