Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, decida se
é um subespaço vetorial:
(i) O conjunto
formado pelas funções que se anulam em
.
(i) O conjunto
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
Para decidir se
é um subespaço, vamos usar o critério de subespaço vetorial: mostrar que (1) o vetor zero está em
, (2)
é fechado sob soma e (3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero, definida por
para todo
, pertence a
pois
Logo,
não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então por definição
e
. Para a soma
temos
Isso mostra que
também anula em
, ou seja,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
, temos
Portanto
também anula em
, isto é,
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.