Para cada subconjunto W do espaço vetorial indicado abaixo, decida se W é um subespaço vetorial:
(i) O conjunto W subset F(R ; R) formado pelas funções que se anulam em x=5.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial F(R;R), que é o conjunto de todas as funções fcolon RtoR com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
W = lfin F(R;R) mid f(5)=0r
Para decidir se W é um subespaço, vamos usar o critério de subespaço vetorial: mostrar que (1) o vetor zero está em W, (2) W é fechado sob soma e (3) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, definida por ;0(x)=0 para todo xinR, pertence a W pois
0(5)=0
Logo, W não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,ginW. Então por definição f(5)=0 e g(5)=0. Para a soma f+g temos
(f+g)(5) = f(5) + g(5) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que f+g também anula em 5, ou seja, f+ginW.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja finW e alphainR. Como f(5)=0, temos
(alpha f)(5) = alphacdot f(5) = alphacdot 0 = 0
Portanto alpha f também anula em 5, isto é, alpha finW.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de F(R;R).

Resposta

W é um subespaço vetorial de F(R;R).

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