Para cada subconjunto A do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo:
(d) A subset M2 times 2(R) dado por A in M2 times 2(R): Tr(A)=4. Obs.: Tr(A) é o traço de A.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
A = Ain M2times2(R) mid Tr(A)=4
e pede para mostrar que A é um subespaço afim de M2times2(R) e determinar o subespaço vetorial paralelo a ele. Lembrando que um conjunto Ssubset V é subespaço afim se existe um vetor v0 em V e um subespaço vetorial W de V tais que
S = v0 + W = v0 + w mid win W

Passo 2

Vamos escolher um ponto qualquer em A. Por exemplo,
A0 = 2I2 = 2 & 0 [6pt] 0 & 2,
pois Tr(A0)=2+2=4, logo A0inA. Definimos então
W = Xin M2times2(R) mid Tr(X)=0
Verificamos que W é subespaço vetorial porque, para X,Yin W e lambdainR:
Tr(X+Y)=Tr(X)+Tr(Y)=0+0=0,
Tr(lambda X)=lambda,Tr(X)=lambdacdot0=0
]

Passo 3

Mostramos agora que
A = A0 + W
( 1) Se AinA, então Tr(A)=4 e
Tr(A - A0)=Tr(A)-Tr(A0)=4-4=0,
logo A - A0in W, isto é Ain A0+W.
( 2) Se Xin W então Tr(X)=0 e
Tr(A0 + X)=Tr(A0)+Tr(X)=4+0=4,
logo A0+XinA. Isso mostra a inclusão recíproca.

Passo 4

Como exibimos A=A0+W com W subespaço vetorial, concluímos que A é de fato um subespaço afim de M2times2(R), paralelo ao subespaço vetorial W.

Resposta

O subespaço vetorial paralelo a
A=Amid Tr(A)=4
é
Xin M2times2(R) mid Tr(X)=0

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