Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(a) Pode-se afirmar que as duas últimas linhas de A são nulas: v4=0 e v5=0.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A de tamanho 5times6 e informa que rank(A)=3. As linhas de A são vetores v1,dots,v5inR^6. A afirmação (a) diz que necessariamente v4=0 e v5=0. O conteúdo usado será a definição de posto como dimensão do espaço gerado pelas linhas.
Passo 2
Por definição, rank(A)=3 significa que as linhas de A geram um subespaço de dimensão 3 em R^6. Logo, entre v1,v2,v3,v4,v5 exatamente 3 são linearmente independentes, e as demais ficam no span dessas 3.
cujo determinante é 2cdot5cdot1=10neq0. Assim v1,v2,v3 são independentes e já garantem rank(A)>=3. Como o posto é exatamente 3, nenhuma outra linha pode aumentar esse posto.
Passo 4
O fato de rank(A)=3 obriga v4 e v5 a pertencerem ao spanv1,v2,v3, mas não exige que sejam o vetor zero. Em geral um vetor de um subespaço de dimensão 3 pode ser não–nulo.
Passo 5
Por exemplo, se definirmos
v4=v1, v5=v2,
aí v4neq0, v5neq0 e ainda rank(A)=3. Isso mostra que a afirmação “v4=0 e v5=0” não é obrigatória.