Sabe-se que a seguinte matriz tem posto 3 :
A=[cccccc 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 a & b & c & d & e & f g & h & i & j & l & m ]
Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(a) Pode-se afirmar que as duas últimas linhas de A são nulas: v4=0 e v5=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho 5times6 e informa que rank(A)=3. As linhas de A são vetores v1,dots,v5inR^6. A afirmação (a) diz que necessariamente v4=0 e v5=0. O conteúdo usado será a definição de posto como dimensão do espaço gerado pelas linhas.

Passo 2

Por definição, rank(A)=3 significa que as linhas de A geram um subespaço de dimensão 3 em R^6. Logo, entre v1,v2,v3,v4,v5 exatamente 3 são linearmente independentes, e as demais ficam no span dessas 3.

Passo 3

Observando as três primeiras linhas:
v1=(2,1,0,3,0,-1), v2=(0,5,3,-1,0,0), v3=(0,0,-2,1,0,1),
vê–se um menor 3times3 nas colunas 1,2,4:
2&1&3 0&5&-1 0&0&1 ,
cujo determinante é 2cdot5cdot1=10neq0. Assim v1,v2,v3 são independentes e já garantem rank(A)>=3. Como o posto é exatamente 3, nenhuma outra linha pode aumentar esse posto.

Passo 4

O fato de rank(A)=3 obriga v4 e v5 a pertencerem ao span v1,v2,v3, mas não exige que sejam o vetor zero. Em geral um vetor de um subespaço de dimensão 3 pode ser não–nulo.

Passo 5

Por exemplo, se definirmos
v4=v1, v5=v2,
v4neq0, v5neq0 e ainda rank(A)=3. Isso mostra que a afirmação “ v4=0 e v5=0” não é obrigatória.

Resposta

Falso.

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