Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo:
(b)
dado por
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado nos diz que estamos no espaço vetorial
(polinômios de grau
) e define
O objetivo é mostrar que
é um subespaço afim de
(isto é, uma tradução de um subespaço vetorial) e descrever o subespaço vetorial paralelo a
.
Passo 2
Para ver que
não é vazia, basta encontrar um polinômio que satisfaça as duas condições. Tomemos por exemplo
De fato, em
temos
,
,
,
, e então
logo
. Isso mostra que
.
Passo 3
Agora, para qualquer elemento genérico
as restrições
e
podem ser escritas como
Se definirmos o polinômio diferença
então as condições acima tornam-se lineares homogêneas em
. Se
, elas dão
O conjunto desses
forma um subespaço vetorial
, e temos
o que mostra que
é um subespaço afim (uma tradução de
).
Passo 4
Para descrever
, note que
e
. Chamando
e
, obtemos
com
. Portanto
Esse é o subespaço vetorial paralelo a
.