Para cada subconjunto A do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo:
(b) A subset P3 dado por A=a0+a1 X+a2 X^2+a3 X^3: a0-a3=1 e a1-a2=5.

Passo 1

O enunciado nos diz que estamos no espaço vetorial P3 (polinômios de grau <=3) e define
A = ,a0+a1X+a2X^2+a3X^3 : a0-a3=1,;a1-a2=5
O objetivo é mostrar que A é um subespaço afim de P3 (isto é, uma tradução de um subespaço vetorial) e descrever o subespaço vetorial paralelo a A.

Passo 2

Para ver que A não é vazia, basta encontrar um polinômio que satisfaça as duas condições. Tomemos por exemplo
p0(X) = 1 + 5X + 0cdot X^2 + 0cdot X^3
De fato, em p0 temos a0=1, a1=5, a2=0, a3=0, e então
a0-a3=1-0=1, a1-a2=5-0=5,
logo p0inA. Isso mostra que Aneqemptyset.

Passo 3

Agora, para qualquer elemento genérico
p(X)=a0+a1X+a2X^2+a3X^3inA,
as restrições a0-a3=1 e a1-a2=5 podem ser escritas como
(a0-a3)-1=0, (a1-a2)-5=0
Se definirmos o polinômio diferença
q(X)=p(X)-p0(X),
então as condições acima tornam-se lineares homogêneas em q. Se q(X)=b0+b1X+b2X^2+b3X^3, elas dão
b0-b3=0, b1-b2=0
O conjunto desses q forma um subespaço vetorial VsubsetP3, e temos
A = p0 + V,
o que mostra que A é um subespaço afim (uma tradução de V).

Passo 4

Para descrever V, note que b0=b3 e b1=b2. Chamando c=b0=b3 e d=b1=b2, obtemos
q(X)=c,(1+X^3) ;+; d,(X+X^2),
com c,dinR. Portanto
V = ,c(1+X^3) + d(X+X^2) : c,dinR = Span,1+X^3,,X+X^2
Esse é o subespaço vetorial paralelo a A.

Resposta

A é um subespaço afim de P3 e a sua direção (subespaço vetorial paralelo) é
V = Span,1+X^3,,X+X^2

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