Exiba uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de R^4 :
& W1=(x1, x2, x3, x4): x1=x2=x3=x4 & W2=(x1, x2, x3, x4): x1=x2 e x3=x4 & W2=(x1, x2, x3, x4): x1+x2+x3+x4=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente exiba uma base para cada um dos três subespaços de R^4. Isso envolve entender como parametrizar cada subespaço e extrair um conjunto de vetores que o gere de forma independente (ou seja, uma base).

Passo 2

Para
W1=(x1,x2,x3,x4):x1=x2=x3=x4,
colocamos x1=x2=x3=x4=t. Assim
(x1,x2,x3,x4)=(t,t,t,t)=t,(1,1,1,1)
Logo W1=span(1,1,1,1).

Passo 3

Para
W2=(x1,x2,x3,x4):x1=x2,;x3=x4,
defina x1=x2=a e x3=x4=b. Então
(x1,x2,x3,x4)=(a,a,b,b) =a,(1,1,0,0)+b,(0,0,1,1)
Logo W2=span(1,1,0,0),(0,0,1,1).

Passo 4

Para o subespaço
(x1,x2,x3,x4):x1+x2+x3+x4=0,
tomamos x1,x2,x3 livres e x4=-x1-x2-x3. Logo
(x1,x2,x3,x4) =(x1,x2,x3,-x1-x2-x3) =x1(1,0,0,-1)+x2(0,1,0,-1)+x3(0,0,1,-1)
Assim esse subespaço é span(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1).

Resposta

Uma base para cada subespaço é:
W1: (1,1,1,1), W2: (1,1,0,0),,(0,0,1,1), x1+x2+x3+x4=0: (1,0,0,-1),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1)

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