Considere o espaço vetorial
das funções contínuas
. Mostre que as seguintes funções de
são L.I.:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
em
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: se uma combinação linear dessas funções for a função zero, então os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam constantes
tais que, para todo
,
Queremos mostrar que isso implica
e
.
Passo 3
Avalie a igualdade em
. Como
, obtemos
Passo 4
Avalie a mesma igualdade em
, o que dá
Passo 5
Agora temos o sistema de duas equações lineares em
Da primeira equação segue e
, concluímos
. Logo
.
Resposta
As únicas soluções para
são
e
, portanto
e
são linearmente independentes.