Considere o espaço vetorial C(R ; R) das funções contínuas f: R R. Mostre que as seguintes funções de C(R ; R) são L.I.:
(a) e^2 t, e^3 t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções ,e^2t e ,e^3t em C(R;R) são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: se uma combinação linear dessas funções for a função zero, então os coeficientes dessa combinação devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam constantes alpha,betainR tais que, para todo tinR,
alpha,e^2t ;+;beta,e^3t ;=;0
Queremos mostrar que isso implica alpha=0 e beta=0.

Passo 3

Avalie a igualdade em t=0. Como e^0=1, obtemos
alpha,e^0 + beta,e^0 = alpha + beta = 0

Passo 4

Avalie a mesma igualdade em t=1, o que dá
alpha,e^2 + beta,e^3 = 0

Passo 5

Agora temos o sistema de duas equações lineares em
Da primeira equação segue e , concluímos . Logo .

Resposta

As únicas soluções para alpha,e^2t+beta,e^3t=0 são alpha=0 e beta=0, portanto e^2t e e^3t são linearmente independentes.

Exercícios relacionados