Em cada subconjunto verifique se boldsymbol{U} é um subespaço vetorial do \mathbf{R}^{3} : boldsymbol{U}=\left\{\left[\begin{array}{lll}\mathbf{0} & \boldsymbol{t} & \mathbf{0}\end{array}\right]^{T} / \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{R}\right\}; Passo 1Resumindo o enunciado: queremos ver se U=\bigl\{\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix}\mid t\in\mathbb{R}\bigr\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades: U não é vazio e contém o vetor zero. U é fechado sob adição. U é fechado sob multiplicação por escalar. Passo 2Verificar se o vetor zero de \mathbb{R}^3 está em U. Escolhendo t=0, obtemos \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}\in U, logo U contém o zero e não é vazio. Passo 3Verificar fechamento sob adição. Sejam u=\begin{bmatrix}0\t_1\\\ 0\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}0\t_2\\\ 0\end{bmatrix} com t_1,t_2\in\mathbb{R}. Então u+v=\begin{bmatrix}0\t_1\\\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\t_2\\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\t_1+t_2\\\ 0\end{bmatrix}. Como t_1+t_2\in\mathbb{R}, segue que u+v\in U. Assim, U é fechado sob adição. Passo 4Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix}\in U. Então \lambda u=\lambda\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\lambda t\\\ 0\end{bmatrix}. Como \lambda t\in\mathbb{R}, temos \lambda u\in U. Logo, U é fechado sob multiplicação por escalar. Resposta U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuais dos seguintes subconjuntos do \mathbf{R}^{4} são subespaços do \mathbf{R}^{4}. O conjunto de todos os vetores do tipo: (a,b,c,d), onde a=0 e b=-d. Seja \mathbf{R}^{+}o conjunto de todos os números reais positivos. Defina a multiplicação por escalar por \alpha o \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\alpha} e para todo \mathbf{x} \in \mathbf{R}^{+}e todo \alpha real. A adição por \mathbf{x} \oplus \mathbf{y}=\mathbf{x y} para todo xey \in \mathbf{R}^{+}. V= R+ é um espaço vetorial com estas operações? Em cada subconjunto verifique se boldsymbol{U} é um subespaço vetorial do \mathbf{R}^{3} : boldsymbol{U}=\left\{\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{r} & \boldsymbol{r} & \boldsymbol{t}\end{array}\right]^{T} / \boldsymbol{r} \boldsymbol{e} \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{R}\right\}. Seja \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}. Mostre que \boldsymbol{W} não é subespaço vetorial nos caso: \boldsymbol{W}=\left\{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{a} \geq \mathbf{0}\right\}