Em cada subconjunto verifique se boldsymbol{U} é um subespaço vetorial do \mathbf{R}^{3} :
boldsymbol{U}=\left\{\left[\begin{array}{lll}\mathbf{0} & \boldsymbol{t} & \mathbf{0}\end{array}\right]^{T} / \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{R}\right\};

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos ver se
U=\bigl\{\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix}\mid t\in\mathbb{R}\bigr\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. U não é vazio e contém o vetor zero.
  2. U é fechado sob adição.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de \mathbb{R}^3 está em U.
Escolhendo t=0, obtemos
\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}\in U,
logo U contém o zero e não é vazio.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam
u=\begin{bmatrix}0\t_1\\\ 0\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}0\t_2\\\ 0\end{bmatrix}
com t_1,t_2\in\mathbb{R}. Então
u+v=\begin{bmatrix}0\t_1\\\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\t_2\\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\t_1+t_2\\\ 0\end{bmatrix}.
Como t_1+t_2\in\mathbb{R}, segue que u+v\in U. Assim, U é fechado sob adição.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
u=\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix}\in U.
Então
\lambda u=\lambda\begin{bmatrix}0\t\\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\lambda t\\\ 0\end{bmatrix}.
Como \lambda t\in\mathbb{R}, temos \lambda u\in U. Logo, U é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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