Seja \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}. Mostre que \boldsymbol{W} não é subespaço vetorial nos caso:
\boldsymbol{W}=\left\{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{a} \geq \mathbf{0}\right\}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbf{R}^3 e o subconjunto
W = \{(a,b,c)\in\mathbf{R}^3 \mid a\ge0\}.
O conteúdo é testar se W é subespaço vetorial de V.

Passo 2

Para ser subespaço, W deve satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

O vetor zero (0,0,0) pertence a W pois sua primeira coordenada vale 0\ge0.
Se (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2) estão em W, então a_1\ge0 e a_2\ge0 implicam
a_1 + a_2 \;\ge\; 0,
logo (a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)\in W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Para o fecho sob multiplicação escalar, considere o vetor v=(1,0,0)\in W e o escalar \lambda=-1. Temos
\lambda\,v = -1\cdot(1,0,0) = (-1,0,0),
porém a primeira coordenada -1 é negativa, ou seja (-1,0,0)\notin W. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbf{R}^3 pois falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar.

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