Em cada subconjunto verifique se boldsymbol{U} é um subespaço vetorial do \mathbf{R}^{3} :
boldsymbol{U}=\left\{\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{r} & \boldsymbol{r} & \boldsymbol{t}\end{array}\right]^{T} / \boldsymbol{r} \boldsymbol{e} \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
U = \Bigl\{\begin{pmatrix}r\r\t\end{pmatrix}\;\Bigm|\;r,t\in\mathbb{R}\Bigr\}
e pede para verificar se U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. \mathbf{0}\in U.
  2. Fechamento em relação à soma.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo de \mathbb{R}^3 está em U. Basta escolher
r=0,\quad t=0,
pois
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \in U.

Passo 3

Mostramos o fechamento sob adição. Sejam
u = \begin{pmatrix}r\r\t\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}r'\r'\t'\end{pmatrix} \in U.
Então
u+v = \begin{pmatrix}r + r'\r + r'\t + t'\end{pmatrix}.
Como r+r' e t+t' são números reais, concluímos que u+v tem a forma exigida e, portanto, u+v\in U.

Passo 4

Mostramos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = \begin{pmatrix}r\r\t\end{pmatrix}\in U.
Então
\alpha\,u = \alpha\begin{pmatrix}r\r\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha r\\alpha r\\alpha t\end{pmatrix},
e, como \alpha r,\alpha t\in\mathbb{R}, segue que \alpha u\in U.

Resposta

U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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